Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2021

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos(x+a)\cos(x+b)}

Ответ:Если

\sin(a-b)\ne0

, то

\dfrac{1}{\sin(a-b)} \ln\left|\dfrac{\cos(x+b)}{\cos(x+a)}\right|+C

Если

a-b=k\pi

k\in\mathbb Z

, то

(-1)^k\tg(x+b)+C

Формулы справедливы при

\cos(x+a)\cos(x+b)\ne0

; на разных промежутках области определения постоянные могут быть различными.

Решение

Подынтегральная функция определена при

\cos(x+a)\cos(x+b)\ne0

Сначала предположим, что

\sin(a-b)\ne0

. Используем тождество

\tg(x+a)-\tg(x+b) =\dfrac{\sin(a-b)}{\cos(x+a)\cos(x+b)}

Следовательно,

\dfrac{1}{\cos(x+a)\cos(x+b)} =\dfrac{\tg(x+a)-\tg(x+b)}{\sin(a-b)}

Интегрируя разность тангенсов, на каждом промежутке области определения получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\cos(x+a)\cos(x+b)} &=\dfrac{1}{\sin(a-b)}\left( -\ln|\cos(x+a)|+\ln|\cos(x+b)| \right)=\\ &=\dfrac{1}{\sin(a-b)} \ln\left|\dfrac{\cos(x+b)}{\cos(x+a)}\right|+C\end{aligned}

Если

\sin(a-b)=0

, то

a-b=k\pi

для некоторого

k\in\mathbb Z

\cos(x+a)=(-1)^k\cos(x+b)

Поэтому в этом случае

\int\dfrac{dx}{\cos(x+a)\cos(x+b)} =(-1)^k\tg(x+b)+C

Во всех случаях из области определения исключаются нули обоих косинусов; на её разных промежутках постоянные интегрирования могут различаться.