Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1997

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1997

∫sin⁡3xcos⁡4x dx\displaystyle\int\frac{\sin^3x}{\cos^4x}\,dx.
Ответ:13cos⁡3x−1cos⁡x+C\frac{1}{3\cos^3 x} - \frac{1}{\cos x} + C

Решение

В отличие от задачи 1996 в данном номере у нас не произведение, а частное двух функций. Однако, это никак не сказывается на основной идее решения: выделить один множитель, после чего свести интеграл к зависимости только от одной функции с помощью ОТТ.

Представим числитель как произведение sin⁡2x⋅sin⁡x\sin^2 x \cdot \sin x:∫sin⁡3xcos⁡4x dx=∫sin⁡2x⋅sin⁡xcos⁡4x dx\int \frac{\sin^3 x}{\cos^4 x} \, dx = \int \frac{\sin^2 x \cdot \sin x}{\cos^4 x} \, dxИспользуем основное тригонометрическое тождество sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x:∫(1−cos⁡2x)⋅sin⁡xcos⁡4x dx\int \frac{(1 - \cos^2 x) \cdot \sin x}{\cos^4 x} \, dxВведём замену переменной u=cos⁡xu = \cos x. Тогда du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx, откуда sin⁡x dx=−du\sin x \, dx = -du. Подставим в интеграл и получим следующее:∫1−u2u4(−du)=−∫1−u2u4 du\int \frac{1 - u^2}{u^4} (-du) = -\int \frac{1 - u^2}{u^4} \, duРазобьём интеграл на разность степенных функций:−∫(u−4−u−2) du-\int (u^{-4} - u^{-2}) \, duПроинтегрируем почленно:−∫(u−4−u−2) du=−(u−3−3−u−1−1)+C=13u3−1u+C-\int (u^{-4} - u^{-2}) \, du
=-\left( \frac{u^{-3}}{-3} - \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{3u^3} - \frac{1}{u} + CОстается лишь сделать обратную замену переменной u=cos⁡xu=\cos x.
Демидович № 1997 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика