Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2030

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2030

∫dxa2sin⁡2x+b2cos⁡2x\displaystyle\int\frac{dx}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}.
Ответ:Если a=0a=0, b≠0b\ne0:tg⁡xb2+C.\dfrac{\tg x}{b^2}+C.Если a≠0a\ne0, b=0b=0:−ctg⁡xa2+C.-\dfrac{\ctg x}{a^2}+C.Если ab≠0ab\ne0, то при −π2+kπ<x<π2+kπ-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\pi:1ab(arctg⁡(abtg⁡x)+kπsgn⁡(ab))+C.\dfrac1{ab}
\left(
\arctg\left(\dfrac ab\tg x\right)
+k\pi\operatorname{sgn}(ab)
\right)+C.Последняя формула непрерывно продолжается к x=π2+kπx=\dfrac\pi2+k\pi. При a=b=0a=b=0 подынтегральное выражение не определено.

Решение

Рассмотрим возможные значения параметров.

Если a=0a=0, b≠0b\ne0, то на каждом промежутке области определенияI=1b2∫dxcos⁡2x=tg⁡xb2+C.I=\dfrac1{b^2}\int\dfrac{dx}{\cos^2x}
=\dfrac{\tg x}{b^2}+C.Если a≠0a\ne0, b=0b=0, тоI=1a2∫dxsin⁡2x=−ctg⁡xa2+C.I=\dfrac1{a^2}\int\dfrac{dx}{\sin^2x}
=-\dfrac{\ctg x}{a^2}+C.Пусть теперь ab≠0ab\ne0. Тогда знаменатель положителен при всех xx. На промежутке−π2+kπ<x<π2+kπ-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\piположим t=tg⁡xt=\tg x. ПолучаемI=∫dta2t2+b2=1abarctg⁡atb+C.I=\int\dfrac{dt}{a^2t^2+b^2}
=\dfrac1{ab}\arctg\dfrac{at}{b}+C.Чтобы согласовать ветви в одну первообразную на R\mathbb R, учитываем знак abab:I=1ab(arctg⁡(abtg⁡x)+kπsgn⁡(ab))+C.I=\dfrac1{ab}
\left(
\arctg\left(\dfrac ab\tg x\right)
+k\pi\operatorname{sgn}(ab)
\right)+C.В точках x=π2+kπx=\dfrac\pi2+k\pi формула продолжается по непрерывности. При a=b=0a=b=0 подынтегральное выражение не определено.
Демидович № 2030 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика