Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2033

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^2}

Ответ:

\dfrac{b\sin x-a\cos x} {(a^2+b^2)(a\sin x+b\cos x)}+C, \qquad a^2+b^2>0, \qquad a\sin x+b\cos x\ne0

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо. При

a=b=0

интеграл не рассматривается.

Решение

Пусть

a

b

не равны нулю одновременно. Подынтегральная функция определена там, где

a\sin x+b\cos x\ne0

Обозначим

D=a\sin x+b\cos x, \qquad N=a\cos x-b\sin x

Тогда

D'=N, \qquad N'=-D, \qquad D^2+N^2=a^2+b^2

Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{N}{D}\right) &=\dfrac{N'D-ND'}{D^2} =-\dfrac{D^2+N^2}{D^2} =-\dfrac{a^2+b^2}{D^2}\end{aligned}

Отсюда

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^2} &=\dfrac{b\sin x-a\cos x} {(a^2+b^2)(a\sin x+b\cos x)}+C\end{aligned}

Если

a=b=0

, знаменатель тождественно равен нулю и подынтегральная функция нигде не определена.