Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2005

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2005

∫ctg⁡6x dx\displaystyle\int\ctg^6x\,dx.
Ответ:−15ctg⁡5x+13ctg⁡3x−ctg⁡x−x+C,x≠πk,k∈Z\begin{aligned}
&-\dfrac{1}{5}\ctg^5x+\dfrac{1}{3}\ctg^3x
-\ctg x-x+C,
&\qquad x\ne\pi k,\quad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Функция ctg⁡x\ctg x определена приx≠πk,k∈Zx\ne\pi k,
\qquad k\in\mathbb ZПоложимt=ctg⁡x,dt=−(1+t2) dxt=\ctg x,
\qquad
dt=-(1+t^2)\,dxДеление многочленов даётt61+t2=t4−t2+1−11+t2\dfrac{t^6}{1+t^2}
=t^4-t^2+1-\dfrac{1}{1+t^2}Следовательно,∫ctg⁡6x dx=−∫t61+t2 dt==−t55+t33−t+arctg⁡t+C\begin{aligned}
\int\ctg^6x\,dx
&=-\int\dfrac{t^6}{1+t^2}\,dt=\\
&=-\dfrac{t^5}{5}+\dfrac{t^3}{3}-t+\arctg t+C
\end{aligned}На каждом промежутке области определенияddxarctg⁡(ctg⁡x)=−1\dfrac{d}{dx}\arctg(\ctg x)=-1поэтому arctg⁡(ctg⁡x)=−x\arctg(\ctg x)=-x с точностью до постоянного слагаемого. Возвращаясь к xx, находим∫ctg⁡6x dx=−15ctg⁡5x+13ctg⁡3x−ctg⁡x−x+C\int\ctg^6x\,dx
=-\dfrac{1}{5}\ctg^5x+\dfrac{1}{3}\ctg^3x
-\ctg x-x+C
Демидович № 2005 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика