Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2009

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{\tg x}}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{t^2+\sqrt2\,t+1}{t^2-\sqrt2\,t+1}+\dfrac{1}{\sqrt2}\left( \arctg(\sqrt2\,t+1) +\arctg(\sqrt2\,t-1) \right)+C, &\qquad t=\sqrt{\tg x}, \qquad \pi k<x<\pi k+\dfrac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb Z\end{aligned}

На каждом указанном промежутке постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Квадратный корень находится в знаменателе, поэтому требуется

\tg x>0

. Область определения состоит из промежутков

\pi k<x<\pi k+\dfrac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z

На каждом таком промежутке положим

t=\sqrt{\tg x}>0

Тогда

\tg x=t^2

2t\,dt=(1+t^4)\,dx

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{\sqrt{\tg x}} =2\int\dfrac{dt}{t^4+1}

Разложим дробь, используя равенство

t^4+1=(t^2+\sqrt2\,t+1)(t^2-\sqrt2\,t+1)

В силу чётности ищем

\dfrac{2}{t^4+1} =\dfrac{At+B}{t^2+\sqrt2\,t+1} +\dfrac{-At+B}{t^2-\sqrt2\,t+1}

После умножения на

t^4+1

получаем

2=2(B-\sqrt2\,A)t^2+2B

Поэтому

A=\dfrac{1}{\sqrt2}, \qquad B=1

Числители представим в виде

\begin{aligned} \dfrac{t}{\sqrt2}+1 &=\dfrac{1}{2\sqrt2}(2t+\sqrt2)+\dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{t}{\sqrt2}+1 &=-\dfrac{1}{2\sqrt2}(2t-\sqrt2)+\dfrac{1}{2}\end{aligned}

Кроме того,

\begin{aligned} t^2+\sqrt2\,t+1 &=\left(t+\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\\ t^2-\sqrt2\,t+1 &=\left(t-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\end{aligned}

Интегрируя, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{\tg x}} &=\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{t^2+\sqrt2\,t+1}{t^2-\sqrt2\,t+1}+\dfrac{1}{\sqrt2}\left( \arctg(\sqrt2\,t+1) +\arctg(\sqrt2\,t-1) \right)+C\end{aligned}

где

t=\sqrt{\tg x}