Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2027

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}\,dx

Ответ:При

\varphi=\arctg2

-\dfrac{\cos x+2\sin x}{5} +\dfrac{4}{5\sqrt5} \ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C

Формула справедлива при

x\ne k\pi-\varphi

k\in\mathbb Z

;
на разных промежутках постоянные могут быть различными.

Решение

Обозначим

y=\sin x+2\cos x, \qquad y'=\cos x-2\sin x

До деления на

y

укажем условие области определения:

y=\sin x+2\cos x\ne0

Тогда

\sin x=\dfrac{y-2y'}{5}, \qquad y^2+(y')^2=5

Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{\sin^2x}{y} &=\dfrac{(y-2y')^2}{25y} =\dfrac{1}{25}\left( y-4y'+\dfrac{4(y')^2}{y} \right)=\\ &=\dfrac{1}{25}\left(-3y-4y'+\dfrac{20}{y}\right)\end{aligned}

Выберем

\varphi=\arctg2

, тогда

\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt5}, \qquad \sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt5}, \qquad y=\sqrt5\sin(x+\varphi)

Следовательно,

y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+\varphi=k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad x=k\pi-\varphi

По табличной формуле

\int\dfrac{dx}{y} =\dfrac{1}{\sqrt5} \ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C

Кроме того,

\int y\,dx=-\cos x+2\sin x

Теперь интегрируем полученное разложение:

\begin{aligned} \int\dfrac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}\,dx &=-\dfrac{3}{25}\int y\,dx-\dfrac{4}{25}y +\dfrac{4}{5}\int\dfrac{dx}{y}=\\ &=\dfrac{3}{25}\cos x-\dfrac{6}{25}\sin x -\dfrac{4}{25}\sin x-\dfrac{8}{25}\cos x +\dfrac{4}{5\sqrt5} \ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|=\\ &=-\dfrac{\cos x+2\sin x}{5} +\dfrac{4}{5\sqrt5} \ln\left|\tg\dfrac{x+\varphi}{2}\right|+C\end{aligned}