Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2016

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2016

∫sin⁡xsin⁡(x+a)sin⁡(x+b) dx\displaystyle\int\sin x\sin(x+a)\sin(x+b)\,dx.
Ответ:−12cos⁡(a−b)cos⁡x+112cos⁡(3x+a+b)−14cos⁡(x+a+b)+C-\dfrac12\cos (a-b)\cos x
+\dfrac1{12}\cos (3x+a+b)
-\dfrac14\cos (x+a+b)+C

Решение

Параметры aa и bb считаем постоянными. По формуле произведения двух синусовsin⁡(x+a)sin⁡(x+b)=12(cos⁡(a−b)−cos⁡(2x+a+b))\sin (x+a)\sin (x+b)
=\dfrac12\bigl(\cos (a-b)-\cos (2x+a+b)\bigr)Поэтомуsin⁡xsin⁡(x+a)sin⁡(x+b)=12cos⁡(a−b)sin⁡x−12sin⁡xcos⁡(2x+a+b)\begin{aligned}
\sin x\sin (x+a)\sin (x+b)
&=\dfrac12\cos (a-b)\sin x -\dfrac12\sin x\cos (2x+a+b)
\end{aligned}Для последнего произведения используем третью формулу из условия:sin⁡xcos⁡(2x+a+b)=12(sin⁡(3x+a+b)−sin⁡(x+a+b))\sin x\cos (2x+a+b)
=\dfrac12\bigl(
\sin (3x+a+b)-\sin (x+a+b)
\bigr)Следовательно,sin⁡xsin⁡(x+a)sin⁡(x+b)=12cos⁡(a−b)sin⁡x−14sin⁡(3x+a+b)+14sin⁡(x+a+b)\begin{aligned}
\sin x\sin (x+a)\sin (x+b)
&=\dfrac12\cos (a-b)\sin x
-\dfrac14\sin (3x+a+b)+\dfrac14\sin (x+a+b)
\end{aligned}Интегрируя почленно, получаем∫sin⁡xsin⁡(x+a)sin⁡(x+b) dx=−12cos⁡(a−b)cos⁡x+112cos⁡(3x+a+b)−14cos⁡(x+a+b)+C\begin{aligned}
\int\sin x\sin (x+a)\sin (x+b)\,dx
&=-\dfrac12\cos (a-b)\cos x
+\dfrac1{12}\cos (3x+a+b)
-\dfrac14\cos (x+a+b)+C
\end{aligned}
Демидович № 2016 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика