Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2001

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2001

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^4x\cos^4x}

Ответ:

-8\operatorname{ctg} 2x - \frac{8}{3}\operatorname{ctg}^3 2x + C

Решение

В данном номере выражение из знаменателя дроби можно легко упростить с помощью формулы синуса двойного угла:

\sin^4 x \cos^4 x = (\sin x \cos x)^4 = \left( \frac{\sin 2x}{2} \right)^4 = \frac{\sin^4 2x}{16}

Интеграл примет следующий вид:

\int \frac{dx}{\sin^4 x \cos^4 x} = 16 \int \frac{dx}{\sin^4 2x}

Для решения интегралов, когда имеем только дробь с синусом или косинусом в четной степени в знаменателе, нужно пользоваться заменой

u=\tg x

или

u=\ctg x

. Тогда в дальнейшем с помощью следствия из основного тригонометрического тождества мы получим интеграл от многочлена, найти который не составит труда. Покажем подробно.

Сделаем замену

u = \ctg 2x

. Тогда:

du = -\frac{2dx}{\sin ^2 2x}

Оставшийся множитель

\frac{1}{\sin ^2 2x}

в подынтегральной функции заменим на следующее:

\frac{1}{\sin ^2 2x} = 1+ \ctg ^2 2x

С учетом всего вышесказанного интеграл перепишется следующим образом:

16 \int \frac{dx}{\sin^4 2x} = -8 \int (1 + u^2) \, du

Проинтегрируем полученный многочлен:

-8 \int (1 + u^2) \, du = -8 \left( u + \frac{u^3}{3} \right) + C = -8u - \frac{8}{3}u^3 + C

Остается выполнить обратную замену

u = \ctg 2x

и записать ответ.