Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1992

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1992

\displaystyle\int\sin^6x\,dx

Ответ:

\frac{5}{16}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{3}{64}\sin 4x + \frac{1}{48}\sin^3 2x + C

Решение

В отличие от задачи 1991, степень у тригонометрической функции в подынтегральном выражении четная. Для решения такого типа интегралов применяется уже совсем другая идея, которая состоит в применении формулы понижения степени.

Для начала понижаем степень, используя формулу:

\\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

Наш интеграл примет следующий вид:

\int \sin^6 x \, dx = \int (\sin^2 x)^3 \, dx = \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^3 dx

Выносим константу и раскрываем скобочки:

\frac{1}{8} \int (1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x) \, dx

Теперь разобьем наш интеграл на сумму нескольких более простых:

I=\frac{1}{8}(I_1+I_2+I_3+I_4)

где:

I_1=\int 1 dx

I_2=\int -3 \cos 2x dx

I_3=\int 3 \cos^2 2x dx

I_4= \int -\cos^3 2x dx

Интегралы

I_1

I_2

не представляют трудностей, так как являются табличными:

I_1=\int 1 dx =x

I_2=\int -3 \cos 2x dx=\frac{-3}{2}\sin 2x

Чтобы решить

I_3

, еще раз воспользуемся формулой понижения степени, после чего получим табличные интегралы:

I_3=\int 3\cos^2 2x \, dx = \int 3(\frac{1 + \cos 4x}{2} )\, dx = \frac{3x}{2} + \frac{3}{8}\sin 4x

Для решения

I_4

будем использовать ту же идею, что и номере 1991, отделив множитель и воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством:

-\int \cos^3 2x \, dx = -\int (1 - \sin^2 2x)\cos 2x \, dx = -\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{6}\sin^3 2x

Для ответа осталось лишь сложить все слагаемые и привести подобные, а также не забыть умножить на

\frac{1}{8}

и добавить константу.