Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2039

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^6x+\cos^6x}

Ответ:При

-\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2<x<\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2

k\in\mathbb Z

\arctg\dfrac{\tg2x}{2}+k\pi+C.

В точках

x=\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2

первообразная определяется непрерывным продолжением.

Решение

Используем тождество

\sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x=1-\dfrac34\sin^22x.

Знаменатель не меньше

\dfrac14

, поэтому подынтегральная функция непрерывна на

\mathbb R

. На промежутке

-\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2<x<\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2

положим

t=\tg2x

. Тогда

\begin{aligned}I&=\int\dfrac{dx}{1-\frac34\sin^22x}=\\&=\int\dfrac{2\,dt}{t^2+4}=\\&=\arctg\dfrac t2+C.\end{aligned}

Согласовывая ветви арктангенса, получаем

I=\arctg\dfrac{\tg2x}{2}+k\pi+C.

В граничных точках формула продолжается по непрерывности.