Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2018

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2018

∫sin⁡32x⋅cos⁡23x dx\displaystyle\int\sin^32x\cdot\cos^23x\,dx.
Ответ:−316cos⁡2x+364cos⁡4x+148cos⁡6x−3128cos⁡8x+1192cos⁡12x+C-\dfrac3{16}\cos 2x+\dfrac3{64}\cos 4x
+\dfrac1{48}\cos 6x-\dfrac3{128}\cos 8x
+\dfrac1{192}\cos 12x+C

Решение

Используем только формулы преобразования произведений из условия.
Сначалаsin⁡22x=12(1−cos⁡4x),cos⁡23x=12(1+cos⁡6x)\sin^2 2x=\dfrac12(1-\cos 4x),
\qquad
\cos^2 3x=\dfrac12(1+\cos 6x)Тогдаsin⁡32x=12sin⁡2x−12sin⁡2xcos⁡4x==34sin⁡2x−14sin⁡6x\begin{aligned}
\sin^3 2x
&=\dfrac12\sin 2x-\dfrac12\sin 2x\cos 4x=\\
&=\dfrac34\sin 2x-\dfrac14\sin 6x
\end{aligned}Следовательно,sin⁡32xcos⁡23x=18(3sin⁡2x−sin⁡6x)(1+cos⁡6x)==38sin⁡2x−18sin⁡6x+38sin⁡2xcos⁡6x−18sin⁡6xcos⁡6x\begin{aligned}
\sin^3 2x\cos^2 3x
&=\dfrac18(3\sin 2x-\sin 6x)(1+\cos 6x)=\\
&=\dfrac38\sin 2x-\dfrac18\sin 6x
+\dfrac38\sin 2x\cos 6x -\dfrac18\sin 6x\cos 6x
\end{aligned}Применяя формулу для произведения синуса и косинуса, получаемsin⁡2xcos⁡6x=12(sin⁡8x−sin⁡4x)sin⁡6xcos⁡6x=12sin⁡12x\sin 2x\cos 6x
=\dfrac12(\sin 8x-\sin 4x)\\
\sin 6x\cos 6x=\dfrac12\sin 12xЗначит,sin⁡32xcos⁡23x=38sin⁡2x−316sin⁡4x−18sin⁡6x+316sin⁡8x−116sin⁡12x\begin{aligned}
\sin^3 2x\cos^2 3x
&=\dfrac38\sin 2x-\dfrac3{16}\sin 4x
-\dfrac18\sin 6x+\dfrac3{16}\sin 8x
-\dfrac1{16}\sin 12x
\end{aligned}После почленного интегрирования имеем∫sin⁡32xcos⁡23x dx=−316cos⁡2x+364cos⁡4x+148cos⁡6x−3128cos⁡8x+1192cos⁡12x+C\begin{aligned}
\int\sin^3 2x\cos^2 3x\,dx
&=-\dfrac3{16}\cos 2x+\dfrac3{64}\cos 4x
+\dfrac1{48}\cos 6x-\dfrac3{128}\cos 8x
+\dfrac1{192}\cos 12x+C
\end{aligned}
Демидович № 2018 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика