Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2038

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2038

\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin^4x}\,dx

Ответ:

\frac{1}{2} \arctg(1 + 2\tg^2 x) + C

Формула непрерывно продолжается к точкам

x=\dfrac\pi2+k\pi

Решение

Обратим внимание, что знаменатель подынтегрального выражения похож на тот, что встречался в задаче 2029. Соответственно, применим тот же подход - сведем знаменатель только к зависимости от

\tg x

. Для этого необходимо вытащить множитель

\cos^4 x

\frac{\sin x \cos x}{1+\sin^4 x} =\frac{\sin x \cos x}{\frac{1}{\cos^4x}+\tg^4 x} \cdot \frac{1}{\cos^4 x}

Как и в номере 2029, воспользуемся равенством:

\frac{1}{\cos^2x}=1+\tg^2 x

Тогда знаменатель первого множителя нашего подынтегрального выражения примет вид:

\frac{1}{\cos^4x}+\tg^4 x = (1+\tg^2 x)^2+\tg^4 x=1+2 \tg^2 x+2\tg^4 x

Видим, что полученная функция зависит только от

\tg^2 x

. Можно надеяться, что оставшаяся часть выражения позволит нам занести эту функцию под дифференциал.

Рассмотрим ее. После сокращения одного косинуса в числителе и знаменателе, получаем дробь:

\frac{\sin x}{\cos^3 x}

Остается заметить, что данное выражение с точностью до константы является производной от функции

\tg^2x

, что мы и хотели получить. Занесем этот множитель под дифференциал:

\int \frac{\sin x \cos x}{1+\sin^4 x} dx = \int \frac{1}{1+2 \tg^2 x+2\tg^4 x}\cdot \frac{\sin x}{\cos^3 x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(\tg^2 x)}{1+2 \tg^2 x+2\tg^4 x}

Последний интеграл уже сводится к табличному выделением полного квадрата. Покажем это, обозначив

t=\tg^2x

\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+2 t +t^2 }=\frac{1}{4}\int \frac{dt}{(t+\frac{1}{2})^2 +(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4}\cdot 2 \arctg(2t+1)+C

Для получения итогового ответа остается только упростить выражение и сделать обратную замену

t=\tg^2 x

.

Полученная запись не определена при

\cos x=0

только из-за замены

t=\tg x

. Её предел в этих точках существует, поэтому первообразная продолжается через них по непрерывности.