Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2013

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\sin5x\cos x\,dx

Ответ:

-\dfrac1{12}\cos 6x-\dfrac18\cos 4x+C

Решение

В соответствии с условием блока используем формулу

\sin\alpha\cos\beta =\dfrac12\bigl(\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\bigr)

При

\alpha=5x

\beta=x

получаем

\sin 5x\cos x=\dfrac12(\sin 6x+\sin 4x)

Поэтому

\begin{aligned}\int\sin 5x\cos x\,dx&=\dfrac12\int(\sin 6x+\sin 4x)\,dx=\\&=-\dfrac1{12}\cos 6x-\dfrac18\cos 4x+C\end{aligned}