Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2017

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2017

∫cos⁡2axcos⁡2bx dx\displaystyle\int\cos^2ax\cos^2bx\,dx.
Ответ:x4+14fa(x)+14fb(x)+18fa−b(x)+18fa+b(x)+C,\begin{aligned}
&\dfrac{x}{4}+\dfrac14f_a(x)+\dfrac14f_b(x)
+\dfrac18f_{a-b}(x)
+\dfrac18f_{a+b}(x)+C,
\end{aligned}гдеfc(x)={sin⁡(2cx)2c,c≠0,x,c=0f_c(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sin (2cx)}{2c}, & c\ne0,\\[2mm]
x, & c=0
\end{cases}

Решение

Параметры aa и bb считаем произвольными вещественными постоянными.
По формулам преобразования произведений имеемcos⁡2(ax)=12(1+cos⁡(2ax)),cos⁡2(bx)=12(1+cos⁡(2bx))\cos^2 (ax)=\dfrac12\bigl(1+\cos (2ax)\bigr),
\qquad
\cos^2 (bx)=\dfrac12\bigl(1+\cos (2bx)\bigr)Кроме того,cos⁡(2ax)cos⁡(2bx)=12(cos⁡(2(a−b)x)+cos⁡(2(a+b)x))\cos (2ax)\cos (2bx)
=\dfrac12\bigl(
\cos (2(a-b)x)+\cos (2(a+b)x)
\bigr)Поэтомуcos⁡2(ax)cos⁡2(bx)=14+14cos⁡(2ax)+14cos⁡(2bx)+18cos⁡(2(a−b)x)+18cos⁡(2(a+b)x)\begin{aligned}
\cos^2 (ax)\cos^2 (bx)
&=\dfrac14+\dfrac14\cos (2ax)+\dfrac14\cos (2bx)+
\dfrac18\cos (2(a-b)x)
+\dfrac18\cos (2(a+b)x)
\end{aligned}В условии нет ограничений на параметры, поэтому нельзя безоговорочно делить на aa, bb, a−ba-b или a+ba+b. Введём обозначениеfc(x)={sin⁡(2cx)2c,c≠0x,c=0f_c(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sin (2cx)}{2c}, & c\ne0\\[2mm]
x, & c=0
\end{cases}В обоих случаяхfc′(x)=cos⁡(2cx)f_c'(x)=\cos (2cx)Следовательно,∫cos⁡2(ax)cos⁡2(bx) dx=x4+14fa(x)+14fb(x)++18fa−b(x)+18fa+b(x)+C\begin{aligned}
\int\cos^2 (ax)\cos^2 (bx)\,dx
&=\dfrac{x}{4}+\dfrac14f_a(x)+\dfrac14f_b(x)+ +\dfrac18f_{a-b}(x)
+\dfrac18f_{a+b}(x)+C
\end{aligned}Эта запись автоматически учитывает случаи a=0a=0, b=0b=0 и
a=±ba=\pm b