Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1998

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1998

\displaystyle\int\frac{\cos^4x}{\sin^3x}\,dx

Ответ:

-\frac{\cos^3 x}{2\sin^2 x} - \frac{3}{2} \ln \left| \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right| - \frac{3}{2} \cos x + C

Решение

Для решения данной задачи можно использовать несколько разных подходов. Мы покажем вариант, который будет задействовать формулу интегрирования по частям. Для этого как и в номере 1997 надо будет отделить один из множителей сверху, чтобы найти подходящий дифференциал.

Представим подынтегральную формулу следующим образом:

\frac{\cos ^4 x}{\sin ^3 x}=\cos^3 x \cdot \frac{\cos x}{\sin ^3 x}

Заметим, что во втором множителе угадывается производная выражения

-\frac{1}{2\sin^2 x}

Обозначим

u=\cos^3 x

v=-\frac{1}{2\sin^2 x}

, чтобы использовать формулу

\int u dv=uv-\int v du

В результате получаем:

\int \frac{\cos^4 x}{\sin^3 x} \, dx = \cos^3 x \left( -\frac{1}{2\sin^2 x} \right) - \int \left( -\frac{1}{2\sin^2 x} \right) (-3\cos^2 x \sin x) \, dx

Упростив выражение, получаем:

-\frac{\cos^3 x}{2\sin^2 x} - \frac{3}{2} \int \frac{\cos^2 x}{\sin x} \, dx

Далее остается воспользоваться ОТД, чтобы решить оставшийся интеграл:

-\frac{3}{2} \int \frac{1 - \sin^2 x}{\sin x} \, dx = -\frac{3}{2} \int \left( \frac{1}{\sin x} - \sin x \right) dx

Интеграл от синуса является табличным, а интеграл от функции

\frac{1}{\sin x}

был уже рассмотрен в задаче 1703. Собирая все вместе, получаем итоговый ответ.