Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2024

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\tg x\tg(x+a)\,dx

Ответ:

\begin{cases}\ctg a\ln\left|\dfrac{\cos x}{\cos(x+a)}\right|-x+C,&\sin a\ne0\\[6pt]\tg x-x+C,&a\in\pi\mathbb Z\end{cases}

Решение

Сначала пусть

\sin a\ne0

. Из формулы разности тангенсов

\tg(x+a)-\tg x=\dfrac{\sin a}{\cos x\cos(x+a)}

и равенства

\cos a=\cos x\cos(x+a)+\sin x\sin(x+a)

получаем

\tg x\tg(x+a)=\ctg a\bigl(\tg(x+a)-\tg x\bigr)-1

Следовательно,

I=\ctg a\ln\left|\dfrac{\cos x}{\cos(x+a)}\right|-x+C

Если

a=k\pi

, то

\tg(x+a)=\tg x

, и

I=\int\tg^2x\,dx=\int\left(\dfrac1{\cos^2x}-1\right)dx=\tg x-x+C

В обоих случаях исключаются точки, где

\cos x\cos(x+a)=0