Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2025

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{2\sin x-\cos x+5}

Ответ:При

(2k-1)\pi<x<(2k+1)\pi

k\in\mathbb Z

\dfrac1{\sqrt5}\left(\arctg\dfrac{3\tg\frac x2+1}{\sqrt5}+k\pi\right)+C.

В точках

x=(2k+1)\pi

первообразная определяется непрерывным продолжением.

Решение

Подынтегральная функция определена на всей числовой прямой, поскольку

2\sin x-\cos x+5\geqslant5-\sqrt5>0.

На промежутке

(2k-1)\pi<x<(2k+1)\pi

положим

t=\tg\dfrac x2,\qquad\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\qquad\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\qquaddx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}.

Тогда

\begin{aligned}I&=\int\dfrac{dt}{3t^2+2t+2}=\\&=\dfrac13\int\dfrac{dt}{\left(t+\frac13\right)^2+\frac59}=\\&=\dfrac1{\sqrt5}\arctg\dfrac{3t+1}{\sqrt5}+C.\end{aligned}

При переходе через точку

x=(2k+1)\pi

главная ветвь арктангенса меняется на

-\pi

.
Чтобы получить одну непрерывную первообразную на всей числовой прямой, согласуем ветви:

I=\dfrac1{\sqrt5}\left(\arctg\dfrac{3\tg\frac x2+1}{\sqrt5}+k\pi\right)+C,\qquad(2k-1)\pi<x<(2k+1)\pi.

В точках

x=(2k+1)\pi

эта формула продолжается по непрерывности.