Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2037

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2037

∫sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡4x+cos⁡4x dx\displaystyle\int\frac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx.
Ответ:122ln⁡2−sin⁡2x2+sin⁡2x+C,x∈R\dfrac{1}{2\sqrt2}
\ln\dfrac{\sqrt2-\sin2x}{\sqrt2+\sin2x}+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Знаменатель положителен, посколькуsin⁡4x+cos⁡4x=1−12sin⁡22x⩾12\sin^4x+\cos^4x
=1-\dfrac{1}{2}\sin^22x
\geqslant\dfrac{1}{2}Следовательно, область определения — R\mathbb R. Кроме того,sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡2x\sin^2x-\cos^2x=-\cos2xПоложимu=sin⁡2x,du=2cos⁡2x dxu=\sin2x,
\qquad
du=2\cos2x\,dxТогда∫sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡4x+cos⁡4x dx=−12∫du1−u22=−∫du2−u2\begin{aligned}
\int
\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx
&=-\dfrac{1}{2}
\int\dfrac{du}{1-\dfrac{u^2}{2}}
=-\int\dfrac{du}{2-u^2}
\end{aligned}Используя разложение12−u2=122(12+u+12−u),\dfrac{1}{2-u^2}
=\dfrac{1}{2\sqrt2}
\left(
\dfrac{1}{\sqrt2+u}
+\dfrac{1}{\sqrt2-u}
\right),получаем∫sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡4x+cos⁡4x dx=122ln⁡2−sin⁡2x2+sin⁡2x+C\begin{aligned}
\int
\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx
&=\dfrac{1}{2\sqrt2}
\ln\dfrac{\sqrt2-\sin2x}{\sqrt2+\sin2x}+C
\end{aligned}Поскольку ∣sin⁡2x∣⩽1<2|\sin2x|\leqslant1<\sqrt2, оба выражения под логарифмом положительны.
Демидович № 2037 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика