Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2000

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos^3x}

Ответ:

\frac{\sin x}{2\cos^2 x} + \frac{1}{2} \ln \left| \operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + C

Решение

Заметим, что задача схожа с той, что была в номере 1999, с тем лишь отличием, что синус сменился на косинус. Однако с помощью формулы приведения

\sin (x+\frac{\pi}{2})=\cos x

мы можем свести задачу к предыдущей.

Введём замену

u = x + \frac{\pi}{2}

. Тогда

du = dx

, и интеграл примет вид:

\int \frac{dx}{\cos^3 x} = \int \frac{du}{\sin^3 u}

Используем результат задачи 1999:

\int \frac{du}{\sin^3 u} = -\frac{\cos u}{2\sin^2 u} + \frac{1}{2} \ln \left| \operatorname{tg} \frac{u}{2} \right| + C

Для получения итогового ответа остается только сделать обратную замену переменной

u=x + \frac{\pi}{2}

и упростить полученное выражение с помощью формул приведения.