Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2014

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\cos x\cos2x\cos3x\,dx

Ответ:

\dfrac{x}{4}+\dfrac18\sin 2x+\dfrac1{16}\sin 4x+\dfrac1{24}\sin 6x+C

Решение

Используем данную в условии формулу

\cos\alpha\cos\beta =\dfrac12\bigl(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)\bigr)

Сначала объединим первый и третий множители:

\cos x\cos 3x=\dfrac12(\cos 2x+\cos 4x)

Следовательно,

\begin{aligned}\cos x\cos 2x\cos 3x&=\dfrac12\cos^2 2x+\dfrac12\cos 2x\cos 4x=\\&=\dfrac14(1+\cos 4x)+\dfrac14(\cos 2x+\cos 6x)\end{aligned}

Интегрируем каждое слагаемое:

\begin{aligned}\int\cos x\cos 2x\cos 3x\,dx&=\dfrac14\int (1+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x)\,dx=\\&=\dfrac{x}{4}+\dfrac18\sin 2x+\dfrac1{16}\sin 4x+\dfrac1{24}\sin 6x+C\end{aligned}