Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2032

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2032

∫sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx.
Ответ:sin⁡x−cos⁡x2−122ln⁡∣tg⁡(x2+π8)∣+C\dfrac{\sin x-\cos x}{2}-\dfrac1{2\sqrt2}\ln\left|\tg\left(\dfrac x2+\dfrac\pi8\right)\right|+C

Решение

Из (sin⁡x+cos⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x следуетsin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡x=sin⁡x+cos⁡x2−12(sin⁡x+cos⁡x)\dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}
=\dfrac{\sin x+\cos x}{2}-\dfrac1{2(\sin x+\cos x)}Для второго слагаемого используем sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π4)\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4) и формулу ∫dusin⁡u=ln⁡∣tg⁡u2∣+C\int\dfrac{du}{\sin u}=\ln|\tg\frac u2|+C. ТогдаI=sin⁡x−cos⁡x2−122ln⁡∣tg⁡(x2+π8)∣+CI=\dfrac{\sin x-\cos x}{2}-\dfrac1{2\sqrt2}\ln\left|\tg\left(\dfrac x2+\dfrac\pi8\right)\right|+CФормула справедлива на промежутках, где sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x+\cos x\ne0.
Демидович № 2032 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика