Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1994

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1994

\displaystyle\int\sin^2x\cos^4x\,dx

Ответ:

\frac{1}{16}x - \frac{1}{64}\sin 4x + \frac{1}{48}\sin^3 2x + C

Решение

В отличие от предыдущих задач здесь мы имеем дело с произведением различных тригонометрических функций - синуса и косинуса. Однако несложно заметить, что при применении основного тригонометрического тождества задача сведется к тем, что уже рассматривали ранее.

Используем основное тригонометрическое тождество

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

\int \sin^2 x \cos^4 x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \cos^4 x \, dx = \int (\cos^4 x - \cos^6 x) \, dx

Разбиваем на разность интегралов:

\int \cos^4 x \, dx - \int \cos^6 x \, dx

Первый интеграл был рассмотрен в номере 1750, а второй в номере 1993, а значит, для получения ответа нужно всего лишь найти разность полученных функций:

\left( \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right) - \left(\frac{5}{16}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{3}{64}\sin 4x - \frac{1}{48}\sin^3 2x \right)

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем искомую функцию. Не забываем написать

+C

для ответа.