Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2007

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2007

∫dxsin⁡3xcos⁡5x\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\cos^5x}}.
Ответ:23(tg⁡x)32−2tg⁡x+C,πk<x<πk+π2,k∈Z\begin{aligned}
&\dfrac{2}{3}(\tg x)^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{2}{\sqrt{\tg x}}+C,
&\qquad
\pi k<x<\pi k+\dfrac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На каждом указанном промежутке постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Корень находится в знаменателе, поэтому требуетсяsin⁡3xcos⁡5x>0\sin^3x\cos^5x>0Поскольку степени нечётные, это равносильно условию sin⁡xcos⁡x>0\sin x\cos x>0. Следовательно, область определения состоит из промежутковπk<x<πk+π2,k∈Z\pi k<x<\pi k+\dfrac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb ZНа каждом таком промежутке положимt=tg⁡x>0,dt=(1+t2) dxt=\tg x>0,
\qquad
dt=(1+t^2)\,dxИмеемsin⁡3xcos⁡5x=t3cos⁡8x=t3(1+t2)4sin⁡3xcos⁡5x=t32(1+t2)2\begin{aligned}
\sin^3x\cos^5x
=t^3\cos^8x
=\dfrac{t^3}{(1+t^2)^4}\\
\sqrt{\sin^3x\cos^5x}
=\dfrac{t^{\frac{3}{2}}}{(1+t^2)^2}
\end{aligned}Поэтому∫dxsin⁡3xcos⁡5x=∫1+t2t32 dt==∫(t−32+t12)dt=−2t+23t32+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{\sqrt{\sin^3x\cos^5x}}
&=\int\dfrac{1+t^2}{t^{\frac{3}{2}}}\,dt=\\
&=\int\left(t^{-\frac{3}{2}}+t^{\frac{1}{2}}\right)dt=-\dfrac{2}{\sqrt t}+\dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C
\end{aligned}Возвращаясь к xx, получаем∫dxsin⁡3xcos⁡5x=23(tg⁡x)32−2tg⁡x+C\int\dfrac{dx}{\sqrt{\sin^3x\cos^5x}}
=\dfrac{2}{3}(\tg x)^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{2}{\sqrt{\tg x}}+C
Демидович № 2007 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика