Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2015

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2015

∫sin⁡xsin⁡x2sin⁡x3 dx\displaystyle\int\sin x\sin\frac x2\sin\frac x3\,dx.
Ответ:32cos⁡x6−310cos⁡5x6−314cos⁡7x6+322cos⁡11x6+C\dfrac32\cos \dfrac{x}{6}
-\dfrac3{10}\cos \dfrac{5x}{6}
-\dfrac3{14}\cos \dfrac{7x}{6}
+\dfrac3{22}\cos \dfrac{11x}{6}+C

Решение

Сначала применим формулу произведения двух синусов:sin⁡xsin⁡x2=12(cos⁡x2−cos⁡3x2)\sin x\sin \dfrac{x}{2}
=\dfrac12\left(
\cos \dfrac{x}{2}-\cos \dfrac{3x}{2}
\right)Умножая на sin⁡x3\sin \dfrac{x}{3} и применяя формулу произведения
синуса и косинуса, получаемsin⁡x3cos⁡x2=12(sin⁡5x6−sin⁡x6)\sin \dfrac{x}{3}\cos \dfrac{x}{2}
=\dfrac12\left(
\sin \dfrac{5x}{6}-\sin \dfrac{x}{6}
\right)sin⁡x3cos⁡3x2=12(sin⁡11x6−sin⁡7x6)\sin \dfrac{x}{3}\cos \dfrac{3x}{2}
=\dfrac12\left(
\sin \dfrac{11x}{6}-\sin \dfrac{7x}{6}
\right)Следовательно,sin⁡xsin⁡x2sin⁡x3=14(sin⁡5x6−sin⁡x6)−14(sin⁡11x6−sin⁡7x6)\begin{aligned}
\sin x\sin \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{x}{3}
&=\dfrac14\left(
\sin \dfrac{5x}{6}-\sin \dfrac{x}{6}
\right) -\dfrac14\left(
\sin \dfrac{11x}{6}-\sin \dfrac{7x}{6}
\right)
\end{aligned}Теперь интегрируем почленно:∫sin⁡xsin⁡x2sin⁡x3 dx=32cos⁡x6−310cos⁡5x6−314cos⁡7x6+322cos⁡11x6+C\begin{aligned}
\int\sin x\sin \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{x}{3}\,dx
&=\dfrac32\cos \dfrac{x}{6}
-\dfrac3{10}\cos \dfrac{5x}{6}-\dfrac3{14}\cos \dfrac{7x}{6}
+\dfrac3{22}\cos \dfrac{11x}{6}+C
\end{aligned}
Демидович № 2015 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика