Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1999

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1999

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^3x}

Ответ:

-\frac{\cos x}{2\sin^2 x} + \frac{1}{2} \ln \left| \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right| + C

Решение

Для решения данной задачи также воспользуемся методом интегрирования по частям. Однако, в отличие от номера 1998, где мы отделяли множитель в числителе, здесь удобнее предварительно переписать подынтегральное выражение, заметив, что дифференциал котангенса связан с обратным квадратом синуса.

Заметим, что

d(\operatorname{ctg} x) = -\frac{dx}{\sin^2 x}

. Перепишем интеграл, выделив этот дифференциал:

\int \frac{dx}{\sin^3 x} = \int \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{dx}{\sin^2 x} = -\int \frac{1}{\sin x} \, d(\operatorname{ctg} x)

Применим формулу интегрирования по частям:

\int u \, dv = uv - \int v \, du

Получим следующее:

-\int \frac{1}{\sin x} \, d(\operatorname{ctg} x) = -\left[ \frac{1}{\sin x} \operatorname{ctg} x - \int \operatorname{ctg} x \left( -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx \right]

После всех упрощений получаем:

-\frac{\cos x}{\sin^2 x} - \int \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} \, dx

Используем основное тригонометрическое тождество

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x

-\int \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^3 x} \, dx = -\int \frac{dx}{\sin^3 x} + \int \frac{dx}{\sin x}

Как мы видим, в полученном выражении используется наш первоначальный интеграл. Для получения ответа остается выразить его из имеющегося уравнения. Обозначим исходный интеграл

I = \int \frac{dx}{\sin^3 x}

. Тогда:

I = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} - I + \int \frac{dx}{\sin x}

Отсюда:

2I = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} + \int \frac{dx}{\sin x}

Для получения итогового ответа остается воспользоваться результатом задачи 1703, где уже ранее был рассмотрен интеграл от дроби

\frac{1}{\sin x}

2I = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} + \ln \left| \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right| + C

Остается лишь поделить обе части уравнения на 2.