Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2011

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2011

Вывести формулы понижения для интегралов:а) In=∫sin⁡nx dx;б) Kn=∫cos⁡nx dx(n>2)\text{а) } I_n=\int\sin^n x\,dx;\qquad
\text{б) } K_n=\int\cos^n x\,dx\quad(n>2)и с их помощью вычислить∫sin⁡6x dxи∫cos⁡8x dx.\int\sin^6x\,dx\quad\text{и}\quad\int\cos^8x\,dx.
Ответ:
а) Формула понижения:In=−sin⁡n−1xcos⁡xn+n−1nIn−2I_n=-\dfrac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}
+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}Требуемый интеграл:∫sin⁡6x dx=−16sin⁡5xcos⁡x−524sin⁡3xcos⁡x−516sin⁡xcos⁡x+5x16+C\begin{aligned}
\int\sin^6x\,dx
&=-\dfrac16\sin^5x\cos x
-\dfrac5{24}\sin^3x\cos x-\dfrac5{16}\sin x\cos x
+\dfrac{5x}{16}+C
\end{aligned}б) Формула понижения:Kn=sin⁡xcos⁡n−1xn+n−1nKn−2K_n=\dfrac{\sin x\cos^{n-1}x}{n}
+\dfrac{n-1}{n}K_{n-2}Требуемый интеграл:∫cos⁡8x dx=18sin⁡xcos⁡7x+748sin⁡xcos⁡5x+35192sin⁡xcos⁡3x+35128sin⁡xcos⁡x+35x128+C\begin{aligned}
\int\cos^8x\,dx
&=\dfrac18\sin x\cos^7x
+\dfrac7{48}\sin x\cos^5x+\dfrac{35}{192}\sin x\cos^3x
+\dfrac{35}{128}\sin x\cos x
+\dfrac{35x}{128}+C
\end{aligned}Формулы понижения записаны для n∈Nn\in\mathbb N, n>2n>2 и понимаются с точностью до постоянной интегрирования. В обоих итоговых интегралах x∈Rx\in\mathbb R; постоянные CC могут быть разными.

Решение


Пусть n∈Nn\in\mathbb N, n>2n>2. При выводе формул понижения и промежуточных вычислениях постоянные интегрирования временно не записываем: равенства понимаются с точностью до постоянной. В окончательных первообразных добавим CC.

а} Выведем формулу понижения дляIn=∫sin⁡nx dxI_n=\int\sin^n x\,dxОтделим один множитель sin⁡x\sin x, первообразная которого равна −cos⁡x-\cos x. При взятии производной оставшегося множителя sin⁡n−1x\sin^{n-1}x его степень уменьшится:In=∫sin⁡n−1xsin⁡x dxI_n=\int\sin^{n-1}x\sin x\,dxПрименим формулу интегрирования по частям∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,duВыберемu=sin⁡n−1x,dv=sin⁡x dxdu=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dx,v=−cos⁡x\begin{gathered}
u=\sin^{n-1}x,\qquad dv=\sin x\,dx\\
du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,\qquad v=-\cos x
\end{gathered}Подставим эти выражения и используем cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x:In=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xcos⁡2x dx==−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2x(1−sin⁡2x) dx==−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)(In−2−In)\begin{aligned}
I_n
&=-\sin^{n-1}x\cos x
+(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=\\
&=-\sin^{n-1}x\cos x
+(n-1)\int\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,dx=\\
&=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)(I_{n-2}-I_n)
\end{aligned}Последний переход следует из раскрытия скобок:sin⁡n−2x(1−sin⁡2x)=sin⁡n−2x−sin⁡nx\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)=\sin^{n-2}x-\sin^nxПеренесём слагаемое −(n−1)In-(n-1)I_n в левую часть. ТогдаnIn=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)In−2nI_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}Разделив на nn, получаем формулу понижения:In=−sin⁡n−1xcos⁡xn+n−1nIn−2,n>2I_n=-\dfrac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}
+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2},\qquad n>2Она уменьшает показатель степени на два. Поэтому для вычисления I6I_6 последовательно найдём I2I_2, I4I_4, затем I6I_6.
Начальный интеграл I2I_2 вычислим отдельно по формуле половинного угла:sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}ПолучаемI2=12∫(1−cos⁡2x) dx=x2−14sin⁡2x==x2−12sin⁡xcos⁡x\begin{aligned}
I_2
&=\dfrac12\int(1-\cos2x)\,dx=\dfrac x2-\dfrac14\sin2x=\\
&=\dfrac x2-\dfrac12\sin x\cos x
\end{aligned}Здесь при интегрировании cos⁡2x\cos2x появляется множитель 12\frac12, поскольку (sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin2x)'=2\cos2x. В последней строке использовано sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x.
Применим формулу понижения при n=4n=4 и подставим найденное I2I_2:I4=−14sin⁡3xcos⁡x+34I2==−14sin⁡3xcos⁡x+34(x2−12sin⁡xcos⁡x)==−14sin⁡3xcos⁡x−38sin⁡xcos⁡x+3x8\begin{aligned}
I_4
&=-\dfrac14\sin^3x\cos x+\dfrac34I_2=\\
&=-\dfrac14\sin^3x\cos x
+\dfrac34\left(\dfrac x2-\dfrac12\sin x\cos x\right)=\\
&=-\dfrac14\sin^3x\cos x
-\dfrac38\sin x\cos x+\dfrac{3x}{8}
\end{aligned}Теперь при n=6n=6I6=−16sin⁡5xcos⁡x+56I4I_6=-\dfrac16\sin^5x\cos x+\dfrac56I_4Подставим выражение для I4I_4, умножим каждое его слагаемое на 56\frac56 и добавим произвольную постоянную:∫sin⁡6x dx=−16sin⁡5xcos⁡x−524sin⁡3xcos⁡x−516sin⁡xcos⁡x+5x16+C\begin{aligned}
\int\sin^6x\,dx
&=-\dfrac16\sin^5x\cos x
-\dfrac5{24}\sin^3x\cos x-\dfrac5{16}\sin x\cos x
+\dfrac{5x}{16}+C
\end{aligned}б) Выведем формулу понижения дляKn=∫cos⁡nx dxK_n=\int\cos^n x\,dxОтделим один множитель cos⁡x\cos x и снова применим интегрирование по частям:Kn=∫cos⁡n−1xcos⁡x dxK_n=\int\cos^{n-1}x\cos x\,dxВыберемu=cos⁡n−1x,dv=cos⁡x dxdu=−(n−1)cos⁡n−2xsin⁡x dx,v=sin⁡x\begin{gathered}
u=\cos^{n-1}x,\qquad dv=\cos x\,dx\\
du=-(n-1)\cos^{n-2}x\sin x\,dx,\qquad v=\sin x
\end{gathered}В формуле uv−∫v duuv-\int v\,du минус перед интегралом и минус в dudu дают плюс. Используем также sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2x=1-\cos^2x:Kn=sin⁡xcos⁡n−1x+(n−1)∫cos⁡n−2xsin⁡2x dx==sin⁡xcos⁡n−1x+(n−1)∫cos⁡n−2x(1−cos⁡2x) dx==sin⁡xcos⁡n−1x+(n−1)(Kn−2−Kn)\begin{aligned}
K_n
&=\sin x\cos^{n-1}x
+(n-1)\int\cos^{n-2}x\sin^2x\,dx=\\
&=\sin x\cos^{n-1}x
+(n-1)\int\cos^{n-2}x(1-\cos^2x)\,dx=\\
&=\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)(K_{n-2}-K_n)
\end{aligned}После раскрытия скобок перенесём −(n−1)Kn-(n-1)K_n в левую часть:nKn=sin⁡xcos⁡n−1x+(n−1)Kn−2nK_n=\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)K_{n-2}Разделив на nn, получаемKn=sin⁡xcos⁡n−1xn+n−1nKn−2,n>2K_n=\dfrac{\sin x\cos^{n-1}x}{n}
+\dfrac{n-1}{n}K_{n-2},\qquad n>2Для вычисления K8K_8 последовательно найдём K2K_2, K4K_4, K6K_6, затем K8K_8.
Начальный интеграл вычислим по формуле половинного угла:cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}ТогдаK2=12∫(1+cos⁡2x) dx=x2+14sin⁡2x==x2+12sin⁡xcos⁡x\begin{aligned}
K_2
&=\dfrac12\int(1+\cos2x)\,dx=\dfrac x2+\dfrac14\sin2x=\\
&=\dfrac x2+\dfrac12\sin x\cos x
\end{aligned}При n=4n=4 подставим это выражение в формулу понижения:K4=14sin⁡xcos⁡3x+34K2==14sin⁡xcos⁡3x+34(x2+12sin⁡xcos⁡x)==14sin⁡xcos⁡3x+38sin⁡xcos⁡x+3x8\begin{aligned}
K_4
&=\dfrac14\sin x\cos^3x+\dfrac34K_2=\\
&=\dfrac14\sin x\cos^3x+\dfrac34\left(\dfrac x2+\dfrac12\sin x\cos x\right)=\\
&=\dfrac14\sin x\cos^3x
+\dfrac38\sin x\cos x+\dfrac{3x}{8}
\end{aligned}При n=6n=6 подставим найденное K4K_4 и умножим каждое его слагаемое на 56\frac56:K6=16sin⁡xcos⁡5x+56K4==16sin⁡xcos⁡5x+524sin⁡xcos⁡3x+516sin⁡xcos⁡x+5x16\begin{aligned}
K_6
&=\dfrac16\sin x\cos^5x+\dfrac56K_4=\\
&=\dfrac16\sin x\cos^5x
+\dfrac5{24}\sin x\cos^3x+\dfrac5{16}\sin x\cos x+\dfrac{5x}{16}
\end{aligned}Остаётся применить формулу при n=8n=8:K8=18sin⁡xcos⁡7x+78K6K_8=\dfrac18\sin x\cos^7x+\dfrac78K_6Подставим выражение для K6K_6, умножим каждое его слагаемое на 78\frac78 и добавим произвольную постоянную:∫cos⁡8x dx=18sin⁡xcos⁡7x+748sin⁡xcos⁡5x+35192sin⁡xcos⁡3x+35128sin⁡xcos⁡x+35x128+C\begin{aligned}
\int\cos^8x\,dx
&=\dfrac18\sin x\cos^7x
+\dfrac7{48}\sin x\cos^5x+\dfrac{35}{192}\sin x\cos^3x
+\dfrac{35}{128}\sin x\cos x
+\dfrac{35x}{128}+C
\end{aligned}Обе итоговые первообразные определены при всех x∈Rx\in\mathbb R.
Демидович № 2011 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика