Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2031

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2031

∫cos⁡2x dx(a2sin⁡2x+b2cos⁡2x)2\displaystyle\int\frac{\cos^2x\,dx}{(a^2\sin^2x+b^2\cos^2x)^2}.
Ответ:Если a=0a=0, b≠0b\ne0:tg⁡xb4+C.\dfrac{\tg x}{b^4}+C.Если a≠0a\ne0, b=0b=0:−13a4tg⁡3x+C,-\dfrac1{3a^4\tg^3x}+C,с непрерывным продолжением через точки cos⁡x=0\cos x=0.

Если ab≠0ab\ne0, то при −π2+kπ<x<π2+kπ-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\pi:tg⁡x2b2(a2tg⁡2x+b2)++12ab3(arctg⁡(abtg⁡x)+kπsgn⁡(ab))+C.\begin{aligned}
&\dfrac{\tg x}{2b^2(a^2\tg^2x+b^2)}+\\
&\quad+\dfrac1{2ab^3}
\left(
\arctg\left(\dfrac ab\tg x\right)
+k\pi\operatorname{sgn}(ab)
\right)+C.
\end{aligned}Последняя формула непрерывно продолжается к x=π2+kπx=\dfrac\pi2+k\pi. При a=b=0a=b=0 подынтегральное выражение не определено.

Решение

После замены t=tg⁡xt=\tg x имеемI=∫dt(a2t2+b2)2.I=\int\dfrac{dt}{(a^2t^2+b^2)^2}.Рассмотрим возможные значения параметров.

Если a=0a=0, b≠0b\ne0, тоI=tg⁡xb4+C.I=\dfrac{\tg x}{b^4}+C.Если a≠0a\ne0, b=0b=0, тоI=−13a4tg⁡3x+C.I=-\dfrac1{3a^4\tg^3x}+C.Эта формула непрерывно продолжается через точки cos⁡x=0\cos x=0 внутри каждого промежутка области определения.

Пусть ab≠0ab\ne0. Используем стандартную формулу∫dt(a2t2+b2)2=t2b2(a2t2+b2)+12ab3arctg⁡atb+C.\int\dfrac{dt}{(a^2t^2+b^2)^2}
=\dfrac{t}{2b^2(a^2t^2+b^2)}
+\dfrac1{2ab^3}\arctg\dfrac{at}{b}+C.Так как исходная функция при ab≠0ab\ne0 непрерывна на R\mathbb R, согласуем ветви. При−π2+kπ<x<π2+kπ-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\piполучаемI=tg⁡x2b2(a2tg⁡2x+b2)++12ab3(arctg⁡(abtg⁡x)+kπsgn⁡(ab))+C.\begin{aligned}
I={}&\dfrac{\tg x}{2b^2(a^2\tg^2x+b^2)}+\\
&+\dfrac1{2ab^3}
\left(
\arctg\left(\dfrac ab\tg x\right)
+k\pi\operatorname{sgn}(ab)
\right)+C.
\end{aligned}В граничных точках формула продолжается по непрерывности. При a=b=0a=b=0 подынтегральное выражение не определено.
Демидович № 2031 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика