Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1937

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:

Задача 1937

∫x21+x+x2 dx\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{1+x+x^2}}\,dx.
Ответ:2x−34x2+x+1−18ln⁡(2x+1+2x2+x+1)+C\dfrac{2x-3}{4}\sqrt{x^2+x+1}
-\dfrac{1}{8}\ln\bigl(2x+1+2\sqrt{x^2+x+1}\bigr)+C

Решение

Обозначимq=x2+x+1,q′=2x+1q=x^2+x+1,
\qquad
q'=2x+1Поскольку x2=q−(x+1)x^2=q-(x+1) и x+1=q′2+12x+1=\dfrac{q'}{2}+\dfrac{1}{2}, имеем∫x2q dx=∫q dx−∫x+1q dx==∫q dx−q−12∫dxq\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2}{\sqrt q}\,dx
&=\int\sqrt q\,dx-\int\dfrac{x+1}{\sqrt q}\,dx=\\
&=\int\sqrt q\,dx-\sqrt q
-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{\sqrt q}
\end{aligned}Положимu=x+12,c=32,q=u2+c2u=x+\dfrac{1}{2},
\qquad
c=\dfrac{\sqrt3}{2},
\qquad
q=u^2+c^2На промежуточных шагах рассматриваем фиксированные первообразные и добавим общую постоянную в конце. Для логарифма проверяемdduln⁡(u+u2+c2)=1u2+c2\dfrac{d}{du}\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+c^2}\bigr)
=\dfrac{1}{\sqrt{u^2+c^2}}Так как c>0c>0, аргумент логарифма положителен. Для интеграла от корня применяем интегрирование по частям. Обозначив его через HH, получаемH=∫u2+c2 du=uu2+c2−∫u2u2+c2 du==uu2+c2−H+c2∫duu2+c2\begin{aligned}
H=\int\sqrt{u^2+c^2}\,du
&=u\sqrt{u^2+c^2}
-\int\dfrac{u^2}{\sqrt{u^2+c^2}}\,du=\\
&=u\sqrt{u^2+c^2}-H
+c^2\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2+c^2}}
\end{aligned}Переносим −H-H в левую часть. Таким образом, обе нужные формулы имеют вид∫u2+c2 du=12(uu2+c2+c2ln⁡(u+u2+c2)),∫duu2+c2=ln⁡(u+u2+c2)\begin{aligned}
\int\sqrt{u^2+c^2}\,du
&=\dfrac{1}{2}\left(
u\sqrt{u^2+c^2}
+c^2\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+c^2}\bigr)
\right),\\
\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2+c^2}}
&=\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+c^2}\bigr)
\end{aligned}Подставляя эти формулы, получаем∫x2q dx=(u2−1)q+(c22−12)ln⁡(u+q)+C==(x2−34)q−18ln⁡(u+q)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2}{\sqrt q}\,dx
&=\left(\dfrac{u}{2}-1\right)\sqrt q
+\left(\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{1}{2}\right)
\ln\bigl(u+\sqrt q\bigr)+C=\\
&=\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{4}\right)\sqrt q
-\dfrac{1}{8}\ln\bigl(u+\sqrt q\bigr)+C
\end{aligned}Умножение аргумента логарифма на положительную постоянную 22 изменяет первообразную лишь на постоянное слагаемое. Поэтому∫x2x2+x+1 dx=2x−34x2+x+1−18ln⁡(2x+1+2x2+x+1)+C\int\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+x+1}}\,dx
=\dfrac{2x-3}{4}\sqrt{x^2+x+1}
-\dfrac{1}{8}\ln\bigl(2x+1+2\sqrt{x^2+x+1}\bigr)+CКвадратный трёхчлен x2+x+1=(x+12)2+34x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4} положителен при всех xx. Аргумент логарифма также положителен, поскольку 2x2+x+1>∣2x+1∣2\sqrt{x^2+x+1}>|2x+1|.
Демидович № 1937 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика