Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1941

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}

Ответ:

\begin{aligned} &\arcsin\dfrac{2x+1}{\sqrt5} +\ln\left| \dfrac{x+3+2\sqrt{1-x-x^2}}{x+1} \right|+C, &\qquad x\in \left(\dfrac{-1-\sqrt5}{2};-1\right) \cup \left(-1;\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\right)\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

1-x-x^2>0

Следовательно,

\dfrac{-1-\sqrt5}{2}<x<\dfrac{-1+\sqrt5}{2}

Кроме того,

x\ne-1

. Поэтому область определения состоит из двух промежутков

\left(\dfrac{-1-\sqrt5}{2};-1\right) \cup \left(-1;\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\right)

Обозначим

q=1-x-x^2

Поскольку

\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}

получаем

\int\dfrac{x\,dx}{(x+1)\sqrt q} =\int\dfrac{dx}{\sqrt q} -\int\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt q}

Первый интеграл находится после дополнения квадрата:

q=\dfrac{5}{4}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2, \qquad \int\dfrac{dx}{\sqrt q} =\arcsin\dfrac{2x+1}{\sqrt5}

Для второго интеграла на каждом промежутке области определения положим

u=\dfrac{1}{x+1}, \qquad v=\dfrac{\sqrt q}{x+1}

Тогда

v^2=u^2+u-1, \qquad du=-\dfrac{dx}{(x+1)^2}

Подставляя выражения для

du

v

, получаем

\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt q}=-\dfrac{du}{v}

Из равенства

v^2=\left(u+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}

следует

2vv'=2u+1, \qquad v'=\dfrac{2u+1}{2v}

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{d}{du}\ln\left|u+\dfrac{1}{2}+v\right| &=\dfrac{1+v'}{u+\dfrac{1}{2}+v}=\dfrac{1+\dfrac{2u+1}{2v}} {u+\dfrac{1}{2}+v} =\dfrac{1}{v}\end{aligned}

Аргумент логарифма не обращается в нуль, так как

\left(u+\dfrac{1}{2}+v\right) \left(u+\dfrac{1}{2}-v\right) =\dfrac{5}{4}\ne0

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt q} &=-\ln\left|u+\dfrac{1}{2}+v\right|=-\ln\left| \dfrac{x+3+2\sqrt q}{x+1} \right|+C\end{aligned}

Постоянный множитель

2

внутри логарифма включён в

C

. Окончательно получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{(x+1)\sqrt{1-x-x^2}} &=\arcsin\dfrac{2x+1}{\sqrt5}+\ln\left| \dfrac{x+3+2\sqrt{1-x-x^2}}{x+1} \right|+C\end{aligned}