Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1947

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

Задача 1947

∫dxx3x2+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^3\sqrt{x^2+1}}.
Ответ:−x2+12x2−12ln⁡∣x1+x2+1∣+C,x≠0-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{2x^2}
-\dfrac{1}{2}
\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}\right|+C,
\qquad x\ne0На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Поскольку x2+1>0x^2+1>0 при всех действительных xx, подынтегральная функция определена при x≠0x\ne0. Обозначимs=x2+1,In=∫dxxnss=\sqrt{x^2+1},
\qquad
I_n=\int\dfrac{dx}{x^n s}Имеемddx(sxn−1)=−n−2xn−2s−n−1xns\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{s}{x^{n-1}}\right)
=-\dfrac{n-2}{x^{n-2}s}
-\dfrac{n-1}{x^n s}После интегрирования получаем формулу понижения степениIn=−s(n−1)xn−1−n−2n−1In−2I_n=-\dfrac{s}{(n-1)x^{n-1}}
-\dfrac{n-2}{n-1}I_{n-2}При n=3n=3 она даётI3=−s2x2−12I1I_3=-\dfrac{s}{2x^2}-\dfrac{1}{2}I_1Базовый интеграл на каждом промежутке области определения равенI1=∫dxxx2+1=ln⁡∣x1+x2+1∣+CI_1=\int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}
=\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}\right|+CДействительно,ddxln⁡∣x1+s∣=1x−xs(1+s)=1xs\dfrac{d}{dx}
\ln\left|\dfrac{x}{1+s}\right|
=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{s(1+s)}
=\dfrac{1}{xs}Следовательно,∫dxx3x2+1=−x2+12x2−12ln⁡∣x1+x2+1∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x^3\sqrt{x^2+1}}
&=-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{2x^2}-\dfrac{1}{2}
\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}\right|+C
\end{aligned}
Демидович № 1947 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика