Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1950

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)^5\sqrt{x^2+2x}}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{\bigl(3(x+1)^2+2\bigr)\sqrt{x^2+2x}} {8(x+1)^4} +\dfrac{3}{8}\arctg\sqrt{x^2+2x}+C, &\qquad x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

x^2+2x>0

Следовательно,

x<-2 \qquad\text{или}\qquad x>0

Положим

y=x+1, \qquad s=\sqrt{y^2-1}

Тогда исходный интеграл принимает вид

I_5=\int\dfrac{dy}{y^5s}

Для

I_n=\int\dfrac{dy}{y^ns}

имеем

\dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{s}{y^{n-1}}\right) =-\dfrac{n-2}{y^{n-2}s} +\dfrac{n-1}{y^ns}

Поэтому формула понижения степени имеет вид

I_n=\dfrac{s}{(n-1)y^{n-1}} +\dfrac{n-2}{n-1}I_{n-2}

Последовательно применяя её, получаем

I_5=\dfrac{s}{4y^4}+\dfrac{3}{4}I_3, \qquad I_3=\dfrac{s}{2y^2}+\dfrac{1}{2}I_1

Базовый интеграл равен

I_1=\int\dfrac{dy}{y\sqrt{y^2-1}} =\arctg\sqrt{y^2-1}+C

Действительно,

\dfrac{d}{dy}\arctg s =\dfrac{s'}{1+s^2} =\dfrac{1}{ys}

Следовательно,

I_5=\dfrac{s}{4y^4} +\dfrac{3s}{8y^2} +\dfrac{3}{8}\arctg s+C

Возвращаясь к переменной

x

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x+1)^5\sqrt{x^2+2x}} &=\dfrac{\bigl(3(x+1)^2+2\bigr)\sqrt{x^2+2x}} {8(x+1)^4}+\dfrac{3}{8}\arctg\sqrt{x^2+2x}+C\end{aligned}