Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1969

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подстановки Эйлера:

Задача 1969

∫x−x2+3x+2x+x2+3x+2 dx\displaystyle\int\frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}\,dx.
Ответ:При t=x2+3x+2−xt=\sqrt{x^2+3x+2}-x−t26+t18−1627ln⁡∣3t−4∣+34ln⁡∣3−2t∣+C-\dfrac{t^2}{6}+\dfrac{t}{18}
-\dfrac{16}{27}\ln|3t-4|
+\dfrac{3}{4}\ln|3-2t|+CПолная область определения равна(−∞;−2]∪[−1;−23)∪(−23;+∞)(-\infty;-2]\cup\left[-1;-\dfrac{2}{3}\right)
\cup\left(-\dfrac{2}{3};+\infty\right)На трёх внутренних промежутках постоянные интегрирования могут быть различными; формула непрерывно продолжается к x=−2x=-2 и x=−1x=-1.

Решение

Обозначимs=x2+3x+2s=\sqrt{x^2+3x+2}Условие s∈Rs\in\mathbb R равносильно(x+1)(x+2)⩾0(x+1)(x+2)\geqslant0то есть x⩽−2x\leqslant-2 или x⩾−1x\geqslant-1. Кроме того, знаменатель x+sx+s обращается в нуль при x=−23x=-\dfrac{2}{3}, посколькуx+s=0⟺x⩽0,s2=x2⟺3x+2=0x+s=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\leqslant0,
\quad
s^2=x^2
\quad\Longleftrightarrow\quad
3x+2=0На внутренних промежутках области определения применим подстановку Эйлераt=s−x,s=x+tt=s-x,
\qquad
s=x+tПосле возведения в квадрат получаемx=t2−23−2t,dx=−2(t−1)(t−2)(3−2t)2 dt,x+s=3t−43−2tx=\dfrac{t^2-2}{3-2t},
\qquad
dx=-\dfrac{2(t-1)(t-2)}{(3-2t)^2}\,dt,
\qquad
x+s=\dfrac{3t-4}{3-2t}Так как x−s=−tx-s=-t, исходный интеграл сводится к рациональному:I=∫2t(t−1)(t−2)(3t−4)(3−2t) dtI
=\int\dfrac{2t(t-1)(t-2)}{(3t-4)(3-2t)}\,dtСначала выполним деление:2t(t−1)(t−2)(3t−4)(3−2t)=−t3+118+−1718t+23(3t−4)(3−2t)\begin{aligned}
\dfrac{2t(t-1)(t-2)}{(3t-4)(3-2t)}
&=-\dfrac{t}{3}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{-\dfrac{17}{18}t+\dfrac{2}{3}}
{(3t-4)(3-2t)}
\end{aligned}Числитель остатка представляется в виде−1718t+23=−169(3−2t)−32(3t−4)-\dfrac{17}{18}t+\dfrac{2}{3}
=-\dfrac{16}{9}(3-2t)-\dfrac{3}{2}(3t-4)ПоэтомуI=∫(−t3+118−169(3t−4)−32(3−2t))dt==−t26+t18−1627ln⁡∣3t−4∣+34ln⁡∣3−2t∣+C\begin{aligned}
I
&=\int\left(
-\dfrac{t}{3}+\dfrac{1}{18}
-\dfrac{16}{9(3t-4)}
-\dfrac{3}{2(3-2t)}
\right)dt=\\
&=-\dfrac{t^2}{6}+\dfrac{t}{18}
-\dfrac{16}{27}\ln|3t-4|
+\dfrac{3}{4}\ln|3-2t|+C
\end{aligned}Здесь 3t−4=03t-4=0 соответствует исключённой точке x=−23x=-\dfrac{2}{3}, а равенство 3−2t=03-2t=0 не достигается ни при одном конечном xx.

В допустимых граничных точках имеемx=−2⟹t=2,x=−1⟹t=1x=-2\quad\Longrightarrow\quad t=2,
\qquad
x=-1\quad\Longrightarrow\quad t=1При t=2t=2 и t=1t=1 выражения 3t−43t-4 и 3−2t3-2t отличны от нуля. Следовательно, найденная формула имеет конечные пределы при x=−2x=-2 и x=−1x=-1.
Демидович № 1969 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика