Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1974

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

Задача 1974

∫x+1+x+x21+x+1+x+x2 dx\displaystyle\int\frac{x+\sqrt{1+x+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x+x^2}}\,dx.
Ответ:x+x2+x+12−2ln⁡(x+1+x2+x+1)++32ln⁡(2x+1+2x2+x+1)++34(2x+1+2x2+x+1)+C,x∈R\begin{aligned}
&\dfrac{x+\sqrt{x^2+x+1}}{2}
-2\ln\left(x+1+\sqrt{x^2+x+1}\right)+\\
&\quad+\dfrac{3}{2}
\ln\left(2x+1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)+\\
&\quad+\dfrac{3}
{4\left(2x+1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)}+C,
\qquad x\in\mathbb R
\end{aligned}

Решение

Квадратный трёхчлен x2+x+1x^2+x+1 положителен при всех действительных xx. Кроме того, знаменатель не обращается в нуль: при x<0x<0x2+x+1>∣x+1∣\sqrt{x^2+x+1}>|x+1|а при x⩾0x\geqslant0 его положительность непосредственна. Поэтому область определения есть R\mathbb R.

Обозначимs=x2+x+1,u=x+ss=\sqrt{x^2+x+1},
\qquad
u=x+sДо деления на 2u+12u+1 проверим, что этот множитель не обращается в нуль. Имеемs2−(x+12)2=34s^2-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}Следовательно,2s>∣2x+1∣,2u+1=2x+1+2s>02s>|2x+1|,
\qquad
2u+1=2x+1+2s>0Из равенства (u−x)2=x2+x+1(u-x)^2=x^2+x+1 получаемx=u2−12u+1,dx=2(u2+u+1)(2u+1)2 dux=\dfrac{u^2-1}{2u+1},
\qquad
dx=\dfrac{2(u^2+u+1)}{(2u+1)^2}\,duТак как x+s=ux+s=u и 1+x+s=u+11+x+s=u+1, исходный интеграл принимает вид∫2u(u2+u+1)(u+1)(2u+1)2 du\int\dfrac{2u(u^2+u+1)}{(u+1)(2u+1)^2}\,duИщем разложение рациональной дроби в виде2u(u2+u+1)(u+1)(2u+1)2=A+Bu+1+C2u+1+D(2u+1)2\dfrac{2u(u^2+u+1)}{(u+1)(2u+1)^2}
=A+\dfrac{B}{u+1}
+\dfrac{C}{2u+1}
+\dfrac{D}{(2u+1)^2}После умножения на (u+1)(2u+1)2(u+1)(2u+1)^2 и сравнения коэффициентов получаем систему{4A=28A+4B+2C=25A+4B+3C+D=2A+B+C+D=0\begin{cases}
4A=2\\
8A+4B+2C=2\\
5A+4B+3C+D=2\\
A+B+C+D=0
\end{cases}Из первого уравнения A=12A=\frac12. После подстановки этого значения второе уравнение даёт C=−1−2BC=-1-2B, а четвёртое — D=−12−B−CD=-\frac12-B-C. Подставим выражение для DD в третье уравнение: получаем 3B+2C=03B+2C=0. Теперь3B+2(−1−2B)=0⟹B=−23B+2(-1-2B)=0
\quad\Longrightarrow\quad
B=-2Из найденных выражений для CC и DD получаем C=3C=3 и D=−32D=-\frac32. Итак,A=12,B=−2,C=3,D=−32A=\dfrac{1}{2},
\qquad
B=-2,
\qquad
C=3,
\qquad
D=-\dfrac{3}{2}Поэтому2u(u2+u+1)(u+1)(2u+1)2=12−2u+1+32u+1−32(2u+1)2\begin{aligned}
\dfrac{2u(u^2+u+1)}{(u+1)(2u+1)^2}
&=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{u+1}
+\dfrac{3}{2u+1}-\dfrac{3}{2(2u+1)^2}
\end{aligned}Следовательно,∫x+x2+x+11+x+x2+x+1 dx=u2−2ln⁡(u+1)+32ln⁡(2u+1)+34(2u+1)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x+\sqrt{x^2+x+1}}
{1+x+\sqrt{x^2+x+1}}\,dx
&=\dfrac{u}{2}-2\ln(u+1)
+\dfrac{3}{2}\ln(2u+1)+\dfrac{3}{4(2u+1)}+C
\end{aligned}Поскольку u+1>0u+1>0 и 2u+1>02u+1>0, модули в логарифмах не требуются. Возвращаясь к xx, получаем∫x+x2+x+11+x+x2+x+1 dx=x+x2+x+12−2ln⁡(x+1+x2+x+1)++32ln⁡(2x+1+2x2+x+1)+34(2x+1+2x2+x+1)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x+\sqrt{x^2+x+1}}
{1+x+\sqrt{x^2+x+1}}\,dx
&=\dfrac{x+\sqrt{x^2+x+1}}{2}
-2\ln\left(x+1+\sqrt{x^2+x+1}\right)+\\
&\quad+\dfrac{3}{2}
\ln\left(2x+1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)+\dfrac{3}
{4\left(2x+1+2\sqrt{x^2+x+1}\right)}+C
\end{aligned}
Демидович № 1974 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика