Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1942

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:

\displaystyle\int\frac{1-x+x^2}{\sqrt{1+x-x^2}}\,dx

Ответ:

-\dfrac{2x-1}{4}\sqrt{1+x-x^2} +\dfrac{11}{8}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt5}+C, \qquad \dfrac{1-\sqrt5}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt5}{2}

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

1+x-x^2>0

Следовательно, область определения имеет вид

\dfrac{1-\sqrt5}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt5}{2}

Обозначим

q=1+x-x^2 =\dfrac{5}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2

Числитель представим в виде

1-x+x^2=2-q

Тогда

\int\dfrac{1-x+x^2}{\sqrt q}\,dx =2\int\dfrac{dx}{\sqrt q}-\int\sqrt q\,dx

Положим

u=x-\dfrac{1}{2}, \qquad a=\dfrac{\sqrt5}{2}, \qquad q=a^2-u^2, \qquad du=dx

Тогда

\int\dfrac{dx}{\sqrt q} =\arcsin\dfrac{u}{a} =\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt5}

Для интеграла от корня используем

u=a\sin t

при

-\dfrac\pi2<t<\dfrac\pi2

. Тогда

du=a\cos t\,dt

\sqrt{a^2-u^2}=a\cos t

\begin{aligned} \int\sqrt{a^2-u^2}\,du &=a^2\int\cos^2t\,dt=\\ &=\dfrac{a^2}{2}t+\dfrac{a^2}{4}\sin2t+C\end{aligned}

Так как

t=\arcsin\dfrac ua

\sin2t=\dfrac{2u\sqrt{a^2-u^2}}{a^2}

, возвращаемся к

x

\begin{aligned} \int\sqrt q\,dx &=\int\sqrt{a^2-u^2}\,du=\\ &=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2} +\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{u}{a}=\\ &=\dfrac{2x-1}{4}\sqrt q +\dfrac{5}{8}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt5}\end{aligned}

При подстановке найденных первообразных коэффициент при арксинусе равен

2-\dfrac{5}{8}=\dfrac{11}{8}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{1-x+x^2}{\sqrt{1+x-x^2}}\,dx &=-\dfrac{2x-1}{4}\sqrt{1+x-x^2}+\dfrac{11}{8}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt5}+C\end{aligned}