Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1955

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти ∫P(x)Q(x)y dx\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx, где y=ax2+bx+cy=\sqrt{ax^2+bx+c}, разлагая рациональную функцию P(x)Q(x)\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} на простейшие дроби.

Задача 1955

∫x2(1+x)1+2x−x2 dx\displaystyle\int\frac{x^2}{(1+x)\sqrt{1+2x-x^2}}\,dx.
Ответ:При y=1+2x−x2y=\sqrt{1+2x-x^2}−y+2arctg⁡(1+2(x−1)2+y)+C,x∈(1−2,1+2)-y+\sqrt2\arctg \left(
1+\dfrac{\sqrt2(x-1)}{\sqrt2+y}
\right)+C,
\qquad
x\in(1-\sqrt2,1+\sqrt2)

Решение

Корень находится в знаменателе, поэтому1+2x−x2>01+2x-x^2>0Отсюда 1−2<x<1+21-\sqrt2<x<1+\sqrt2. Точка x=−1x=-1, в которой обращается в нуль дополнительный множитель знаменателя, в этот промежуток не входит. Значит, область определения исходной функции есть (1−2,1+2)(1-\sqrt2,1+\sqrt2).

Обозначим y=1+2x−x2y=\sqrt{1+2x-x^2}. Выполним деление многочленов:x2x+1=x−1+1x+1\dfrac{x^2}{x+1}
=x-1+\dfrac1{x+1}ПоэтомуI=∫x−1y dx+∫dx(x+1)yI=\int\dfrac{x-1}{y}\,dx
+\int\dfrac{dx}{(x+1)y}Так какy′=1−xyy'=\dfrac{1-x}{y}то первый интеграл равен −y-y.

Для вычисления второго интеграла положимx−1=2sin⁡φ,−π2<φ<π2x-1=\sqrt2\sin \varphi,
\qquad
-\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}Поскольку на выбранном промежутке cos⁡φ>0\cos \varphi>0, имеемy=2−(x−1)2=2cos⁡φy=\sqrt{2-(x-1)^2}
=\sqrt2\cos \varphiТогда∫dx(x+1)y=∫dφ2+2sin⁡φ\int\dfrac{dx}{(x+1)y}
=\int\dfrac{d\varphi}{2+\sqrt2\sin \varphi}Используем заменуt=tg⁡φ2,sin⁡φ=2t1+t2,dφ=2 dt1+t2t=\tg \dfrac{\varphi}{2},
\qquad
\sin \varphi=\dfrac{2t}{1+t^2},
\qquad
d\varphi=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}Получаем∫dφ2+2sin⁡φ=∫dtt2+2t+1\begin{aligned}
\int\dfrac{d\varphi}{2+\sqrt2\sin \varphi}
&=\int\dfrac{dt}{t^2+\sqrt2t+1}
\end{aligned}Дополняем квадрат в знаменателе:t2+2t+1=12((2t+1)2+1)t^2+\sqrt2t+1
=\dfrac12\left((\sqrt2t+1)^2+1\right)Положим s=2t+1s=\sqrt2t+1. Тогда ds=2 dtds=\sqrt2\,dt, и∫dtt2+2t+1=2∫ds1+s2==2arctg⁡s=2arctg⁡(2t+1)\begin{aligned}
\int\dfrac{dt}{t^2+\sqrt2t+1}
&=\sqrt2\int\dfrac{ds}{1+s^2}=\\
&=\sqrt2\arctg s
=\sqrt2\arctg (\sqrt2t+1)
\end{aligned}Для обратной замены используем формулу половинного угла:t=tg⁡φ2=sin⁡φ1+cos⁡φ==x−121+y2=x−12+y\begin{aligned}
t=\tg \dfrac{\varphi}{2}
&=\dfrac{\sin \varphi}{1+\cos \varphi}=\\
&=\dfrac{\frac{x-1}{\sqrt2}}{1+\frac{y}{\sqrt2}}
=\dfrac{x-1}{\sqrt2+y}
\end{aligned}Следовательно,I=−y+2arctg⁡(1+2(x−1)2+y)+CI=-y+\sqrt2\arctg \left(
1+\dfrac{\sqrt2(x-1)}{\sqrt2+y}
\right)+C
Демидович № 1955 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика