Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1939

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:

\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}

Ответ:

\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C, \qquad -1<x<1

Решение

Поскольку корень находится в знаменателе, область определения задаётся условием

1-x^2>0, \qquad -1<x<1

Положим

x=\sin t, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}

На выбранном промежутке

\cos t>0

, поэтому

dx=\cos t\,dt, \qquad \sqrt{1-x^2}=\cos t

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} &=\int\dfrac{\cos t\,dt}{\cos^3t} =\int\dfrac{dt}{\cos^2t}=\\ &=\tg t+C =\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\end{aligned}