Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1951

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1951

При каком условии интеграл∫a1x2+b1x+c1ax2+bx+c dx\int\frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dxпредставляет собой алгебраическую функцию?
Ответ:При a≠0a\ne0 на каждом непустом промежутке, где ax2+bx+c>0ax^2+bx+c>0, первообразная является алгебраической тогда и только тогда, когда8a2c1−(4ac−3b2)a1−4abb1=08a^2c_1-(4ac-3b^2)a_1-4ab b_1=0В этом случае(a12ax+b1a−3ba14a2)ax2+bx+c+C\left(
\dfrac{a_1}{2a}x+
\dfrac{b_1}{a}-\dfrac{3ba_1}{4a^2}
\right)\sqrt{ax^2+bx+c}+CПри a=0a=0, b≠0b\ne0, первообразная алгебраична при любых a1a_1, b1b_1, c1c_1 на промежутках, где bx+c>0bx+c>0. При a=b=0a=b=0 вещественный интеграл существует и является алгебраической функцией при c>0c>0; при c=0c=0 знаменатель равен нулю, а при c<0c<0 вещественная область определения пуста.

Решение

Обозначимq(x)=ax2+bx+c,y=q(x),N(x)=a1x2+b1x+c1q(x)=ax^2+bx+c,
\qquad
y=\sqrt{q(x)},
\qquad
N(x)=a_1x^2+b_1x+c_1Рассуждения проводим на каждом промежутке, гдеq(x)=ax2+bx+c>0,q(x)=ax^2+bx+c>0,поскольку q(x)\sqrt{q(x)} находится в знаменателе. Сначала считаем, что a≠0a\ne0, то есть q(x)q(x) является квадратным многочленом. Выделим в подынтегральной функции производную алгебраического выражения:N(x)y=((mx+n)y)′+λy\dfrac{N(x)}{y}
=\bigl((mx+n)y\bigr)'+\dfrac{\lambda}{y}Так какy′=2ax+b2yy'=\dfrac{2ax+b}{2y}то((mx+n)y)′=mq(x)+12(mx+n)(2ax+b)y==2amx2+(32bm+an)x+cm+12bny\begin{aligned}
\bigl((mx+n)y\bigr)'
&=\dfrac{m q(x)+\dfrac12(mx+n)(2ax+b)}{y}=\\
&=\dfrac{2amx^2+
\left(\dfrac32bm+an\right)x+
cm+\dfrac12bn}{y}
\end{aligned}Сравнение коэффициентов даёт систему{a1=2amb1=32bm+anc1=cm+12bn+λ\begin{cases}
a_1=2am\\
b_1=\dfrac32bm+an\\
c_1=cm+\dfrac12bn+\lambda
\end{cases}Из первых двух уравнений находимm=a12a,n=b1a−3ba14a2m=\dfrac{a_1}{2a},
\qquad
n=\dfrac{b_1}{a}-\dfrac{3ba_1}{4a^2}Из третьего уравнения системыλ=c1−cm−bn2==c1−ca12a−bb12a+3b2a18a2\begin{aligned}
\lambda
&=c_1-cm-\dfrac{bn}{2}=\\
&=c_1-\dfrac{ca_1}{2a}
-\dfrac{bb_1}{2a}
+\dfrac{3b^2a_1}{8a^2}
\end{aligned}Приводя слагаемые к общему знаменателю, получаемλ=8a2c1−(4ac−3b2)a1−4abb18a2\lambda=
\dfrac{8a^2c_1-(4ac-3b^2)a_1-4ab b_1}{8a^2}Действительно,q(x)=a(x+b2a)2+4ac−b24aq(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
+\dfrac{4ac-b^2}{4a}На любом непустом действительном промежутке, где q>0q>0, интеграл ∫dxq(x)\int\dfrac{dx}{\sqrt{q(x)}} после выделения полного квадрата выражается через логарифм либо обратную тригонометрическую функцию. Поэтому он не является алгебраической функцией. Алгебраическая первообразная исходного выражения возможна тогда и только тогда, когда λ=0\lambda=0, то есть8a2c1−(4ac−3b2)a1−4abb1=08a^2c_1-(4ac-3b^2)a_1-4ab b_1=0При выполнении этого условия∫N(x)y dx=(a12ax+b1a−3ba14a2)y+C\int\dfrac{N(x)}{y}\,dx
=\left(
\dfrac{a_1}{2a}x+
\dfrac{b_1}{a}-\dfrac{3ba_1}{4a^2}
\right)y+CЕсли a=0a=0, но b≠0b\ne0, положимu=bx+c,x=u2−cb,dx=2ub duu=\sqrt{bx+c},
\qquad
x=\dfrac{u^2-c}{b},
\qquad
dx=\dfrac{2u}{b}\,duТогдаN(x)bx+c dx=2bN(u2−cb)du,\dfrac{N(x)}{\sqrt{bx+c}}\,dx
=\dfrac2bN\left(\dfrac{u^2-c}{b}\right)du,то есть подынтегральная функция становится многочленом относительно uu. Поэтому первообразная алгебраична при любых a1a_1, b1b_1, c1c_1 на каждом промежутке, где bx+c>0bx+c>0.

Если a=b=0a=b=0, вещественный интеграл существует только при c>0c>0. Тогда знаменатель постоянен, поэтому первообразная также алгебраична при любых a1a_1, b1b_1, c1c_1. При c=0c=0 знаменатель тождественно равен нулю, а при c<0c<0 вещественная область определения пуста.

Для интегралов вида ∫P(x)Q(x)y dx\int\dfrac{P(x)}{Q(x)y}\,dx сначала выполняют деление многочленов, если оно необходимо, а затем раскладывают рациональную функцию P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)} на простые дроби. После этого интеграл сводится к сумме интегралов от многочлена и простых дробей, делённых на yy. Именно это разложение применяется в задачах №1952--1960.
Демидович № 1951 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика