Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1966

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подстановки Эйлера:

Задача 1966

∫dxx+x2+x+1\displaystyle\int\frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}.
Ответ:При t=x+x2+x+1t=x+\sqrt{x^2+x+1}2ln⁡∣t∣−32ln⁡(2t+1)+32(2t+1)+C,x≠−12\ln|t|-\dfrac{3}{2}\ln(2t+1)
+\dfrac{3}{2(2t+1)}+C,
\qquad x\ne-1На промежутках (−∞;−1)(-\infty;-1) и (−1;+∞)(-1;+\infty) постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Квадратный трёхчлен x2+x+1x^2+x+1 положителен при всех xx. Знаменатель обращается в нуль только при x=−1x=-1: действительно, изx+x2+x+1=0x+\sqrt{x^2+x+1}=0следует x⩽0x\leqslant0 и x2+x+1=x2x^2+x+1=x^2, откуда x=−1x=-1.

Применим первую подстановку Эйлераt=x+x2+x+1t=x+\sqrt{x^2+x+1}Поскольку x2+x+1=t−x\sqrt{x^2+x+1}=t-x, возводим обе части в квадрат:(t−x)2=x2+x+1,t2−1=(2t+1)x(t-x)^2=x^2+x+1,
\qquad
t^2-1=(2t+1)xОтсюдаx=t2−12t+1,dx=2(t2+t+1)(2t+1)2 dtx=\dfrac{t^2-1}{2t+1},
\qquad
dx=\dfrac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}\,dtРазложим полученную рациональную функцию на простейшие дроби:2(t2+t+1)t(2t+1)2=At+B2t+1+C(2t+1)2\dfrac{2(t^2+t+1)}{t(2t+1)^2}
=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{2t+1}
+\dfrac{C}{(2t+1)^2}После умножения на t(2t+1)2t(2t+1)^2 имеем2(t2+t+1)=A(2t+1)2+Bt(2t+1)+Ct2(t^2+t+1)
=A(2t+1)^2+Bt(2t+1)+CtПри t=0t=0 получаем A=2A=2. Сравнение коэффициентов при t2t^2 и tt даётB=−3,C=−3B=-3,
\qquad
C=-3ТогдаI=2∫t2+t+1t(2t+1)2 dt==∫(2t−32t+1−3(2t+1)2)dt==2ln⁡∣t∣−32ln⁡(2t+1)+32(2t+1)+C\begin{aligned}
I
&=2\int\dfrac{t^2+t+1}{t(2t+1)^2}\,dt=\\
&=\int\left(
\dfrac{2}{t}-\dfrac{3}{2t+1}
-\dfrac{3}{(2t+1)^2}
\right)dt=\\
&=2\ln|t|-\dfrac{3}{2}\ln(2t+1)
+\dfrac{3}{2(2t+1)}+C
\end{aligned}Здесь t≠0t\ne0 при x≠−1x\ne-1. Кроме того,4(x2+x+1)−(2x+1)2=3>04(x^2+x+1)-(2x+1)^2=3>0поэтому 2t+1=2x+2x2+x+1+1>02t+1=2x+2\sqrt{x^2+x+1}+1>0.
Демидович № 1966 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика