Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1964

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Приводя квадратичные трёхчлены к каноническому виду, вычислить следующие интегралы:

Задача 1964

С помощью дробно-линейной подстановки x=α+βt1+t\displaystyle x=\frac{\alpha+\beta t}{1+t} вычислить интеграл∫dx(x2−x+1)x2+x+1.\int\frac{dx}{(x^2-x+1)\sqrt{x^2+x+1}}.
Ответ:12arctg⁡2(x−1)x2+x+1+126ln⁡∣3x2+x+1+2(x+1)3x2+x+1−2(x+1)∣+C,x∈R\begin{aligned}
&\dfrac{1}{\sqrt2}\arctg\dfrac{
\sqrt2(x-1)}{\sqrt{x^2+x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt6}\ln\left|
\dfrac{\sqrt3\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt2(x+1)}
{\sqrt3\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt2(x+1)}
\right|+C,
\qquad x\in\mathbb R
\end{aligned}

Решение

Квадратные трёхчлены x2−x+1x^2-x+1 и x2+x+1x^2+x+1 положительны при всех действительных xx. Подберём параметры указанной в условии подстановкиx=α+βt1+tx=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}После такой замены коэффициент при tt в числителе трёхчлена x2+px+qx^2+px+q равен2αβ+p(α+β)+2q2\alpha\beta+p(\alpha+\beta)+2qЧтобы линейные слагаемые исчезли одновременно в обоих трёхчленах, необходимо2αβ−(α+β)+2=0,2αβ+(α+β)+2=02\alpha\beta-(\alpha+\beta)+2=0,
\qquad
2\alpha\beta+(\alpha+\beta)+2=0Вычитая первое равенство из второго, получаем α+β=0\alpha+\beta=0. Тогда αβ=−1\alpha\beta=-1, поэтому{α,β}={1,−1}\{\alpha,\beta\}=\{1,-1\}Выберемα=1,β=−1,x=1−t1+t\alpha=1,
\qquad
\beta=-1,
\qquad
x=\dfrac{1-t}{1+t}При таком выборе в обоих преобразованных трёхчленах исчезают линейные по tt слагаемые:x2−x+1=1+3t2(1+t)2x2+x+1=t2+3(1+t)2dx=−2(1+t)2 dt\begin{aligned}
x^2-x+1=\dfrac{1+3t^2}{(1+t)^2}\\
x^2+x+1=\dfrac{t^2+3}{(1+t)^2}\\
dx=-\dfrac{2}{(1+t)^2}\,dt
\end{aligned}Сначала проведём вычисление при x>−1x>-1, когда 1+t>01+t>0. ТогдаI=−2∫1+t(1+3t2)t2+3 dt=−2A−2BI=-2\int\dfrac{1+t}{(1+3t^2)\sqrt{t^2+3}}\,dt
=-2A-2BгдеA=∫dt(1+3t2)t2+3,B=∫t dt(1+3t2)t2+3A=\int\dfrac{dt}{(1+3t^2)\sqrt{t^2+3}},
\qquad
B=\int\dfrac{t\,dt}{(1+3t^2)\sqrt{t^2+3}}В интеграле AA положим t=3tg⁡θt=\sqrt3\tg\theta, а затем y=sin⁡θy=\sin\theta. ТогдаA=∫cos⁡θ dθ1+8sin⁡2θ=∫dy1+8y2==122arctg⁡(22y)=122arctg⁡22tt2+3\begin{aligned}
A
&=\int\dfrac{\cos\theta\,d\theta}{1+8\sin^2\theta}
=\int\dfrac{dy}{1+8y^2}=\\
&=\dfrac{1}{2\sqrt2}\arctg(2\sqrt2y)
=\dfrac{1}{2\sqrt2}\arctg\dfrac{2\sqrt2t}{\sqrt{t^2+3}}
\end{aligned}В интеграле BB положим v=t2+3v=\sqrt{t^2+3}. Поскольку dv=t dtvdv=\dfrac{t\,dt}{v} и 1+3t2=3v2−81+3t^2=3v^2-8, получаемB=∫dv3v2−8=146ln⁡∣3v−223v+22∣\begin{aligned}
B
&=\int\dfrac{dv}{3v^2-8}=\dfrac{1}{4\sqrt6}\ln\left|
\dfrac{\sqrt3v-2\sqrt2}{\sqrt3v+2\sqrt2}
\right|
\end{aligned}Возвращаясь к xx и учитывая t=1−x1+xt=\dfrac{1-x}{1+x}, находимI=12arctg⁡2(x−1)x2+x+1+126ln⁡∣3x2+x+1+2(x+1)3x2+x+1−2(x+1)∣+C\begin{aligned}
I
&=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctg\dfrac{
\sqrt2(x-1)}{\sqrt{x^2+x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt6}\ln\left|
\dfrac{\sqrt3\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt2(x+1)}
{\sqrt3\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt2(x+1)}
\right|+C
\end{aligned}Выражения под логарифмом не обращаются в нуль, поскольку3(x2+x+1)−2(x+1)2=x2−x+1>03(x^2+x+1)-2(x+1)^2=x^2-x+1>0Проверим, что полученная формула справедлива на всей числовой прямой. Обозначимp=x2−x+1,q=x2+x+1,U=2(x−1)qp=x^2-x+1,
\qquad
q=x^2+x+1,
\qquad
U=\dfrac{\sqrt2(x-1)}{\sqrt q}ТогдаU′=32(x+1)2q32,1+U2=3pqU'=\dfrac{3\sqrt2(x+1)}{2q^{\frac{3}{2}}},
\qquad
1+U^2=\dfrac{3p}{q}Следовательно,ddx(12arctg⁡U)=x+12pq\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\arctg U\right)
=\dfrac{x+1}{2p\sqrt q}Для логарифмической части положимN=3q+2(x+1),D=3q−2(x+1)N=\sqrt3\sqrt q+\sqrt2(x+1),
\qquad
D=\sqrt3\sqrt q-\sqrt2(x+1)Имеем ND=pND=p, а непосредственное дифференцирование даётddxln⁡∣ND∣=6(1−x)pq\dfrac{d}{dx}\ln\left|\dfrac{N}{D}\right|
=\dfrac{\sqrt6(1-x)}{p\sqrt q}Поэтому производная логарифмического слагаемого равна 1−x2pq\dfrac{1-x}{2p\sqrt q}. Складывая производные двух частей, получаемx+12pq+1−x2pq=1pq\dfrac{x+1}{2p\sqrt q}+\dfrac{1-x}{2p\sqrt q}
=\dfrac{1}{p\sqrt q}Таким образом, формула справедлива и на промежутке x<−1x<-1, а также в исключённой при подстановке точке x=−1x=-1.
Демидович № 1964 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика