Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1949

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

\displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)^3\sqrt{x^2+3x+1}}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{(3x-5)\sqrt{x^2+3x+1}}{20(x-1)^2} -\dfrac{11}{40\sqrt5} \ln\left| \dfrac{5(x+1)+2\sqrt5\sqrt{x^2+3x+1}}{x-1} \right|+C, &\qquad x\in \left(-\infty;\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\right) \cup \left(\dfrac{-3+\sqrt5}{2};1\right) \cup (1;+\infty)\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным, а

x-1

не должно обращаться в нуль:

x^2+3x+1>0, \qquad x\ne1

Следовательно, область определения состоит из промежутков

\left(-\infty;\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\right) \cup \left(\dfrac{-3+\sqrt5}{2};1\right) \cup (1;+\infty)

Сделаем замену

y=x-1, \qquad s=\sqrt{y^2+5y+5}

Тогда исходный интеграл принимает вид

I_3=\int\dfrac{dy}{y^3s}

Для

I_n=\int\dfrac{dy}{y^ns}

имеем

\begin{aligned} \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{s}{y^{n-1}}\right) &=-\dfrac{n-2}{y^{n-2}s} -\dfrac{5(2n-3)}{2y^{n-1}s}-\dfrac{5(n-1)}{y^ns}\end{aligned}

Отсюда получаем формулу понижения степени

I_n=-\dfrac{s}{5(n-1)y^{n-1}} -\dfrac{n-2}{5(n-1)}I_{n-2} -\dfrac{2n-3}{2(n-1)}I_{n-1}

При

n=2

n=3

имеем

I_2=-\dfrac{s}{5y}-\dfrac{1}{2}I_1, \qquad I_3=-\dfrac{s}{10y^2}-\dfrac{1}{10}I_1-\dfrac{3}{4}I_2

После подстановки

I_2

получаем

I_3=-\dfrac{s}{10y^2} +\dfrac{3s}{20y} +\dfrac{11}{40}I_1

Найдём базовый интеграл

I_1=\int\dfrac{dy}{ys}

На каждом промежутке области определения положим

u=\dfrac{1}{y}, \qquad v=\dfrac{s}{y}

Тогда

v^2=5u^2+5u+1, \qquad I_1=-\int\dfrac{du}{v}

Из равенства

v^2=5u^2+5u+1

получаем

2vv'=10u+5, \qquad v'=\dfrac{10u+5}{2v}

Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{d}{du} \ln\left|10u+5+2\sqrt5\,v\right| &=\dfrac{10+2\sqrt5\,v'}{10u+5+2\sqrt5\,v}=\dfrac{\sqrt5}{v}\end{aligned}

Аргумент логарифма не обращается в нуль, поскольку

\begin{aligned} &(10u+5+2\sqrt5\,v)(10u+5-2\sqrt5\,v)=\\ &\qquad=(10u+5)^2-20v^2=5\ne0\end{aligned}

Отсюда

\begin{aligned} I_1 &=-\dfrac{1}{\sqrt5} \ln\left|10u+5+2\sqrt5\,v\right|=\\ &=-\dfrac{1}{\sqrt5} \ln\left| \dfrac{5y+10+2\sqrt5\,s}{y} \right|+C\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

и объединяя алгебраические слагаемые, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x-1)^3\sqrt{x^2+3x+1}} &=\dfrac{(3x-5)\sqrt{x^2+3x+1}}{20(x-1)^2}-\dfrac{11}{40\sqrt5} \ln\left| \dfrac{5(x+1)+2\sqrt5\sqrt{x^2+3x+1}}{x-1} \right|+C\end{aligned}