Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1952

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx

, где

y=\sqrt{ax^2+bx+c}

, разлагая рациональную функцию

\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}

на простейшие дроби.

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x-1)^2\sqrt{1+2x-x^2}}

Ответ:

\dfrac1{\sqrt2}\ln \left| \dfrac{x-1}{\sqrt2+\sqrt{1+2x-x^2}} \right| -\dfrac{\sqrt{1+2x-x^2}}{2(x-1)}+C, \qquad x\in(1-\sqrt2,1)\cup(1,1+\sqrt2)

Решение

Подкоренное выражение стоит в знаменателе, поэтому оно должно быть положительным. Кроме того, знаменатель содержит множитель

(x-1)^2

. Следовательно,

1+2x-x^2>0, \qquad x\ne1

Решая квадратное неравенство, получаем область определения

x\in(1-\sqrt2,1)\cup(1,1+\sqrt2)

Обозначим

y=\sqrt{1+2x-x^2}

Согласно условию блока сначала разложим рациональную часть на простые дроби:

\dfrac{x}{(x-1)^2} =\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}

Положим

u=x-1

. Тогда

y=\sqrt{2-u^2}

du=dx

, поэтому

I=\int\dfrac{du}{u\sqrt{2-u^2}} +\int\dfrac{du}{u^2\sqrt{2-u^2}}

В первом интеграле положим

u=\sqrt2\sin \varphi, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}

На этом промежутке

\cos \varphi>0

, поэтому

y=\sqrt{2-u^2} =\sqrt2\cos \varphi

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{du}{u\sqrt{2-u^2}} &=\dfrac1{\sqrt2}\int\dfrac{d\varphi}{\sin \varphi}=\dfrac1{\sqrt2}\ln \left|\tg \dfrac{\varphi}{2}\right|\end{aligned}

Для обратного перехода используем формулу половинного угла:

\begin{aligned} \tg \dfrac{\varphi}{2} &=\dfrac{\sin \varphi}{1+\cos \varphi}=\\ &=\dfrac{\frac{u}{\sqrt2}}{1+\frac{y}{\sqrt2}} =\dfrac{u}{\sqrt2+y}\end{aligned}

Для второго интеграла используем производную

\left(\dfrac{y}{u}\right)' =-\dfrac{2}{u^2y}

Следовательно,

\int\dfrac{du}{u^2\sqrt{2-u^2}} =-\dfrac{y}{2u}

Возвращаясь к

x

, получаем

I=\dfrac1{\sqrt2}\ln \left| \dfrac{x-1}{\sqrt2+\sqrt{1+2x-x^2}} \right| -\dfrac{\sqrt{1+2x-x^2}}{2(x-1)}+C

Формула рассматривается отдельно на каждом промежутке области определения; на разных промежутках постоянная

C

может принимать независимые значения.