Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1935

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt x+\sqrt{1+x}}

Ответ:

\sqrt{x} +\dfrac{1}{4\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\bigr)^2} -\dfrac{1}{2}\ln\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\bigr)+C, \qquad x>0

Подынтегральная функция определена на

[0;+\infty)

; формула непрерывно продолжается к

x=0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\geqslant0

. Положим

u=\sqrt{x}+\sqrt{x+1}

Так как

\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\bigr) \bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\bigr)=1

то

\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\left(u-\dfrac{1}{u}\right), \qquad x=\dfrac{1}{4}\left(u^2-2+\dfrac{1}{u^2}\right), \qquad dx=\dfrac{1}{2}\left(u-\dfrac{1}{u^3}\right)du

Кроме того, знаменатель исходной функции равен

1+u

. Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{u-u^{-3}}{u+1} &=\dfrac{u^4-1}{u^3(u+1)} =\dfrac{(u-1)(u+1)(u^2+1)}{u^3(u+1)}=\\ &=\dfrac{(u-1)(u^2+1)}{u^3} =1-\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{u^2}-\dfrac{1}{u^3}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{u-u^{-3}}{u+1}\,du=\\ &=\dfrac{1}{2}\int\left( 1-\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{u^2}-\dfrac{1}{u^3} \right)du=\\ &=\dfrac{u}{2}-\dfrac{1}{2}\ln u -\dfrac{1}{2u}+\dfrac{1}{4u^2}+C\end{aligned}

Поскольку

u-\dfrac{1}{u}=2\sqrt{x}

, окончательно

\int\dfrac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} =\sqrt{x}+\dfrac{1}{4u^2}-\dfrac{1}{2}\ln u+C

Здесь

u\geqslant1

, поэтому логарифм определён. На

(0;+\infty)

получена первообразная

F

, которая непрерывно продолжается к

x=0

. По теореме Лагранжа для некоторого

\xi_x\in(0;x)

\dfrac{F(x)-F(0)}{x} =F'(\xi_x) =\dfrac{1}{1+\sqrt{\xi_x}+\sqrt{\xi_x+1}} \longrightarrow\dfrac{1}{2}

Таким образом,

F'_+(0)=\dfrac{1}{2}

, что совпадает со значением подынтегральной функции при

x=0