Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1946

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

\displaystyle\int\frac{x^3-6x^2+11x-6}{\sqrt{x^2+4x+3}}\,dx

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{x^2-14x+111}{3}\sqrt{x^2+4x+3} -66\ln\left|x+2+\sqrt{x^2+4x+3}\right|+C, &\qquad x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

q=x^2+4x+3=(x+2)^2-1>0

Следовательно, область определения имеет вид

x<-3 \qquad\text{или}\qquad x>-1

Применим формулу понижения степени

\dfrac{d}{dx}\bigl(Q\sqrt q\bigr) =\dfrac{Q'q+\dfrac{1}{2}Qq'}{\sqrt q}

Ищем многочлен

Q=Ax^2+Bx+D

и постоянную

\lambda

так, чтобы

x^3-6x^2+11x-6 =Q'q+\dfrac{1}{2}Qq'+\lambda

После раскрытия скобок имеем

Q'q+\dfrac{1}{2}Qq' =3Ax^3+(10A+2B)x^2+(6A+6B+D)x+(3B+2D)

Сравнение коэффициентов даёт систему

\begin{cases} 3A=1,\\ 10A+2B=-6\\ 6A+6B+D=11\\ 3B+2D+\lambda=-6\end{cases}

Из неё последовательно находим

A=\dfrac{1}{3}, \qquad B=\dfrac{-6-10A}{2}=-\dfrac{14}{3}

D=11-6A-6B=37, \qquad \lambda=-6-3B-2D=-66

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3-6x^2+11x-6}{\sqrt q}\,dx &=\dfrac{x^2-14x+111}{3}\sqrt q-66\int\dfrac{dx}{\sqrt q}\end{aligned}

Поскольку

q=(x+2)^2-1

, проверим первообразную дифференцированием:

\dfrac{d}{dx}\ln|x+2+\sqrt q| =\dfrac{1+\dfrac{x+2}{\sqrt q}}{x+2+\sqrt q} =\dfrac{1}{\sqrt q}

Аргумент логарифма не равен нулю, так как

(x+2+\sqrt q)(x+2-\sqrt q)=1

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{\sqrt q} =\ln\left|x+2+\sqrt q\right|+C

Таким образом,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3-6x^2+11x-6}{\sqrt{x^2+4x+3}}\,dx &=\dfrac{x^2-14x+111}{3}\sqrt{x^2+4x+3}-66\ln\left|x+2+\sqrt{x^2+4x+3}\right|+C\end{aligned}