Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1938

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}}

Ответ:

\ln\left| \dfrac{x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}+1-x} \right|+C, \qquad x\ne-1

На промежутках

(-\infty;-1)

(-1;+\infty)

постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Квадратный трёхчлен

x^2+x+1

положителен при всех

x

, но точку

x=-1

необходимо исключить. Положим

u=x+\dfrac{1}{2}, \qquad u=\dfrac{\sqrt3}{2}\tg\theta, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}

Тогда

\begin{aligned} \sqrt{x^2+x+1}&=\dfrac{\sqrt3}{2\cos\theta}, &dx&=\dfrac{\sqrt3}{2\cos^2\theta}\,d\theta,\\ x+1&=\dfrac{1+\sqrt3\tg\theta}{2}\end{aligned}

Используем тождество

\cos\theta+\sqrt3\sin\theta =2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)

Нужный стандартный интеграл легко получить заменой

v=\tg\dfrac{\varphi}{2}

. Тогда

\sin\varphi=\dfrac{2v}{1+v^2}, \qquad d\varphi=\dfrac{2\,dv}{1+v^2}

и поэтому

\int\dfrac{d\varphi}{\sin\varphi} =\int\dfrac{dv}{v} =\ln|v|+C =\ln\left|\tg\dfrac{\varphi}{2}\right|+C

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}} &=2\int\dfrac{d\theta}{\cos\theta+\sqrt3\sin\theta}=\\ &=\int\dfrac{d\theta}{\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)}=\ln\left|\tg\left( \dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{12} \right)\right|+C\end{aligned}

Обозначим

\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{6}

. Из выполненной замены следуют равенства

\sin\varphi=\dfrac{\sqrt3(x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}} \qquad \cos\varphi=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x^2+x+1}}

Следовательно,

\tg\dfrac{\varphi}{2} =\dfrac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi} =\dfrac{\sqrt3(x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}+1-x}

Постоянный множитель

\sqrt3

включается в

C

. Знаменатель последней дроби положителен: при

x<1

это очевидно, а при

x\geqslant1

4(x^2+x+1)-(x-1)^2=3(x+1)^2>0

поэтому

2\sqrt{x^2+x+1}>x-1

. Дополнительных ограничений не возникает.