Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1960

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx

, где

y=\sqrt{ax^2+bx+c}

, разлагая рациональную функцию

\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}

на простейшие дроби.

\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1}\,dx

Ответ:

\ln \left|x+\sqrt{x^2+2}\right| +\arctg \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Поскольку

x^2+2>0

x^2+1>0

при всех действительных

x

, исходная функция определена на всей числовой прямой.

Обозначим

y=\sqrt{x^2+2}

. Представим подынтегральную функцию в виде рациональной функции, делённой на

y

, и выполним разложение:

\begin{aligned} \dfrac{y}{x^2+1} &=\dfrac{x^2+2}{(x^2+1)y}=\left(1+\dfrac1{x^2+1}\right)\dfrac1y\end{aligned}

Поэтому

I=\int\dfrac{dx}{y} +\int\dfrac{dx}{(x^2+1)y}

Первый интеграл легко проверить дифференцированием. Поскольку

y'=\dfrac{x}{y}

x+y>0

, имеем

\left(\ln(x+y)\right)' =\dfrac{1+y'}{x+y} =\dfrac{1+\frac{x}{y}}{x+y} =\dfrac1y

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{y}=\ln(x+y)

Во втором интеграле положим

t=\dfrac{x}{y}

Так как

y'=\dfrac{x}{y}

, имеем

dt=\dfrac{2\,dx}{y^3}

Поэтому

\dfrac{dx}{(x^2+1)y} =\dfrac{y^2}{2(x^2+1)}\,dt

С другой стороны,

\begin{aligned} 1+t^2 &=1+\dfrac{x^2}{y^2}=\\ &=\dfrac{y^2+x^2}{y^2} =\dfrac{2(x^2+1)}{y^2}\end{aligned}

Значит,

\dfrac{y^2}{2(x^2+1)} =\dfrac1{1+t^2}

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{(x^2+1)y} =\int\dfrac{dt}{1+t^2} =\arctg t

Возвращаясь к

x

, получаем

I=\ln |x+y|+\arctg \left(\dfrac{x}{y}\right)+C

Поскольку

x^2+1>0

x^2+2>0

при всех действительных

x

, область определения совпадает с

\mathbb R