Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1932

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}

Ответ:

-\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}+C, \qquad x\ne-1, \quad x\ne1

На промежутках

(-\infty;-1)

(-1;1)

(1;+\infty)

постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Знаменатель обращается в нуль при

x=-1

x=1

, поэтому эти точки исключаются. Положим

t=\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}, \qquad t^3=\dfrac{x+1}{x-1}

Решим полученное уравнение относительно

x

t^3(x-1)=x+1, \qquad x(t^3-1)=t^3+1, \qquad x=\dfrac{t^3+1}{t^3-1}

Отсюда

x+1=\dfrac{2t^3}{t^3-1}, \qquad x-1=\dfrac{2}{t^3-1}, \qquad dx=-\dfrac{6t^2}{(t^3-1)^2}\,dt

При этом

\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4} =\sqrt[3]{\dfrac{64t^6}{(t^3-1)^6}} =\dfrac{4t^2}{(t^3-1)^2}

Здесь

\sqrt[3]{t^6}=t^2, \qquad \sqrt[3]{(t^3-1)^6}=(t^3-1)^2,

и оба выражения неотрицательны, поэтому модули не требуются.

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}} &=-\dfrac{3}{2}\int dt =-\dfrac{3}{2}t+C=\\ &=-\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}+C\end{aligned}

Область определения состоит из трёх промежутков, и на каждом из них постоянная интегрирования выбирается независимо.