Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1972

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

Задача 1972

∫x dx(1−x3)1−x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}.
Ответ:1354[t−12ln⁡t2+2 t+1t2−2 t+1−2(arctg⁡(2 t+1)+arctg⁡(2 t−1))]+C,t=341+x1−x,−1<x<1\begin{aligned}
&\dfrac{1}{3^{\frac{5}{4}}}\left[
t-\dfrac{1}{\sqrt2}
\ln\dfrac{t^2+\sqrt2\,t+1}{t^2-\sqrt2\,t+1}

-\sqrt2\left(
\arctg(\sqrt2\,t+1)
+\arctg(\sqrt2\,t-1)
\right)
\right]+C,
&\qquad
t=\sqrt[4]{3}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}},
\qquad -1<x<1
\end{aligned}

Решение

Корень находится в знаменателе, поэтому1−x2>01-x^2>0Точка x=1x=1, в которой обращается в нуль множитель 1−x31-x^3, уже исключена. Следовательно, область определения есть −1<x<1-1<x<1.

Множитель 34\sqrt[4]{3} выберем для получения t4+1t^4+1 в знаменателе. Положимt=341+x1−x,t>0t=\sqrt[4]{3}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}},
\qquad t>0Тогдаx=t2−3t2+3dx=43 t(t2+3)2 dt1−x2=234 tt2+31−x3=63 (t4+1)(t2+3)3\begin{aligned}
x&=\dfrac{t^2-\sqrt3}{t^2+\sqrt3}\\
dx&=\dfrac{4\sqrt3\,t}{(t^2+\sqrt3)^2}\,dt\\
\sqrt{1-x^2}&=\dfrac{2\sqrt[4]{3}\,t}{t^2+\sqrt3}\\
1-x^3&=\dfrac{6\sqrt3\,(t^4+1)}{(t^2+\sqrt3)^3}
\end{aligned}После подстановки получаем рациональный интеграл∫x dx(1−x3)1−x2=1354∫t4−3t4+1 dt==1354(t−4∫dtt4+1)\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}
&=\dfrac{1}{3^{\frac{5}{4}}}
\int\dfrac{t^4-3}{t^4+1}\,dt=\\
&=\dfrac{1}{3^{\frac{5}{4}}}
\left(t-4\int\dfrac{dt}{t^4+1}\right)
\end{aligned}Так какt4+1=(t2+2 t+1)(t2−2 t+1)t^4+1=(t^2+\sqrt2\,t+1)(t^2-\sqrt2\,t+1)ищем разложение в виде1t4+1=At+Bt2+2 t+1+Ct+Dt2−2 t+1\dfrac{1}{t^4+1}
=\dfrac{At+B}{t^2+\sqrt2\,t+1}
+\dfrac{Ct+D}{t^2-\sqrt2\,t+1}После умножения на t4+1t^4+1 получаем тождество1=(At+B)(t2−2 t+1)+(Ct+D)(t2+2 t+1)\begin{aligned}
1={}&(At+B)(t^2-\sqrt2\,t+1)+(Ct+D)(t^2+\sqrt2\,t+1)
\end{aligned}Сравнение коэффициентов даёт систему{A+C=0−2 A+B+2 C+D=0A−2 B+C+2 D=0B+D=1\begin{cases}
A+C=0\\
-\sqrt2\,A+B+\sqrt2\,C+D=0\\
A-\sqrt2\,B+C+\sqrt2\,D=0\\
B+D=1
\end{cases}Первое уравнение даёт C=−AC=-A. После этой подстановки третье уравнение сводится к D=BD=B. Тогда четвёртое уравнение даёт 2B=12B=1, то есть B=D=12B=D=\frac12. Во втором уравнении теперь остаётся −22 A+1=0-2\sqrt2\,A+1=0, откуда A=122A=\frac{1}{2\sqrt2} и C=−122C=-\frac{1}{2\sqrt2}. Таким образом,A=122,B=12,C=−122,D=12A=\dfrac{1}{2\sqrt2},
\qquad
B=\dfrac{1}{2},
\qquad
C=-\dfrac{1}{2\sqrt2},
\qquad
D=\dfrac{1}{2}Следовательно,1t4+1=t22+12t2+2 t+1+−t22+12t2−2 t+1\begin{aligned}
\dfrac{1}{t^4+1}
&=\dfrac{\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}}
{t^2+\sqrt2\,t+1}
+\dfrac{-\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}}
{t^2-\sqrt2\,t+1}
\end{aligned}Числители представим через производные знаменателей:t22+12=142(2t+2)+14−t22+12=−142(2t−2)+14\begin{aligned}
\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}
&=\dfrac{1}{4\sqrt2}(2t+\sqrt2)+\dfrac{1}{4}\\
-\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}
&=-\dfrac{1}{4\sqrt2}(2t-\sqrt2)+\dfrac{1}{4}
\end{aligned}Кроме того,t2+2 t+1=(t+12)2+12t2−2 t+1=(t−12)2+12\begin{aligned}
t^2+\sqrt2\,t+1
&=\left(t+\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\\
t^2-\sqrt2\,t+1
&=\left(t-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\dfrac{1}{2}
\end{aligned}Оба квадратных знаменателя положительны. Теперь интегрирование каждой дроби даёт∫dtt4+1=142ln⁡t2+2 t+1t2−2 t+1+122(arctg⁡(2 t+1)+arctg⁡(2 t−1))\begin{aligned}
\int\dfrac{dt}{t^4+1}
&=\dfrac{1}{4\sqrt2}
\ln\dfrac{t^2+\sqrt2\,t+1}{t^2-\sqrt2\,t+1}+\dfrac{1}{2\sqrt2}
\left(
\arctg(\sqrt2\,t+1)
+\arctg(\sqrt2\,t-1)
\right)
\end{aligned}Следовательно,∫x dx(1−x3)1−x2=1354[t−12ln⁡t2+2 t+1t2−2 t+1−2(arctg⁡(2 t+1)+arctg⁡(2 t−1))]+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}
&=\dfrac{1}{3^{\frac{5}{4}}}\left[
t-\dfrac{1}{\sqrt2}
\ln\dfrac{t^2+\sqrt2\,t+1}{t^2-\sqrt2\,t+1}
\right.
&\left.
-\sqrt2\left(
\arctg(\sqrt2\,t+1)
+\arctg(\sqrt2\,t-1)
\right)
\right]+C
\end{aligned}где t=341+x1−xt=\sqrt[4]{3}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.
Демидович № 1972 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика