Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1927

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

Задача 1927

∫dxx(1+2x+x3)\displaystyle\int\frac{dx}{x(1+2\sqrt x+\sqrt[3]x)}.
Ответ:ln⁡x−32ln⁡(1+x6)−94ln⁡(2x3−x6+1)−327arctg⁡4x6−17+C,x>0\begin{aligned}
&\ln x-\dfrac{3}{2}\ln(1+\sqrt[6]{x})
-\dfrac{9}{4}\ln\left(2\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}+1\right)-\dfrac{3}{2\sqrt7}
\arctg\dfrac{4\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt7}+C,
\qquad
x>0
\end{aligned}

Решение

Из-за наличия x\sqrt{x} и множителя xx в знаменателе область определения задаётся условием x>0x>0. Для сведения подынтегральной функции к рациональной положимt=x6,x=t6,dx=6t5 dtt=\sqrt[6]{x},
\qquad
x=t^6,
\qquad
dx=6t^5\,dtТогда x=t3\sqrt{x}=t^3, x3=t2\sqrt[3]{x}=t^2 и∫dxx(1+2x+x3)=6∫dtt(2t3+t2+1)==6∫dtt(t+1)(2t2−t+1)\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}
{x(1+2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}
&=6\int\dfrac{dt}
{t(2t^3+t^2+1)}=\\
&=6\int\dfrac{dt}
{t(t+1)(2t^2-t+1)}
\end{aligned}Для разложения на простейшие дроби положим6t(t+1)(2t2−t+1)=At+Bt+1+Mt+N2t2−t+1\dfrac{6}{t(t+1)(2t^2-t+1)}
=\dfrac{A}{t}
+\dfrac{B}{t+1}
+\dfrac{Mt+N}{2t^2-t+1}После умножения на общий знаменатель получаем тождество6=A(t+1)(2t2−t+1)+Bt(2t2−t+1)+(Mt+N)t(t+1)6=A(t+1)(2t^2-t+1)
+Bt(2t^2-t+1)
+(Mt+N)t(t+1)Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях tt, имеем{A=6B+N=0A−B+M+N=02A+2B+M=0\begin{cases}
A=6\\
B+N=0\\
A-B+M+N=0\\
2A+2B+M=0
\end{cases}Первое уравнение сразу даёт A=6A=6. Из второго имеем N=−BN=-B, а из четвёртого M=−12−2BM=-12-2B. Подставляем их в третье уравнение:6−B+(−12−2B)−B=0⟹−6−4B=0⟹B=−326-B+(-12-2B)-B=0
\quad\Longrightarrow\quad
-6-4B=0
\quad\Longrightarrow\quad
B=-\dfrac32Теперь находим остальные коэффициенты:A=6,B=−32,M=−9,N=32A=6,
\qquad
B=-\dfrac{3}{2},
\qquad
M=-9,
\qquad
N=\dfrac{3}{2}Следовательно,6t(t+1)(2t2−t+1)=6t−32(t+1)+−9t+322t2−t+1\begin{aligned}
\dfrac{6}{t(t+1)(2t^2-t+1)}
&=\dfrac{6}{t}-\dfrac{3}{2(t+1)}+\dfrac{-9t+\frac32}{2t^2-t+1}
\end{aligned}В числителе последней дроби выделим производную знаменателя:−9t+32=−94(4t−1)−34-9t+\dfrac{3}{2}
=-\dfrac{9}{4}(4t-1)-\dfrac{3}{4}Кроме того, выделим квадрат в знаменателе:2t2−t+1=(4t−1)2+78>02t^2-t+1
=\dfrac{(4t-1)^2+7}{8}>0Подстановка w=4t−17w=\dfrac{4t-1}{\sqrt7} даёт∫dt2t2−t+1=27∫dw1+w2=27arctg⁡w+C\int\dfrac{dt}{2t^2-t+1}
=\dfrac{2}{\sqrt7}\int\dfrac{dw}{1+w^2}
=\dfrac{2}{\sqrt7}\arctg w+CСледовательно,∫dxx(1+2x+x3)=6ln⁡t−32ln⁡(t+1)−94ln⁡(2t2−t+1)−327arctg⁡4t−17+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}
{x(1+2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}
&=6\ln t-\dfrac{3}{2}\ln(t+1)
-\dfrac{9}{4}\ln(2t^2-t+1)-\dfrac{3}{2\sqrt7}
\arctg\dfrac{4t-1}{\sqrt7}+C
\end{aligned}Возвращаясь к xx, учитываем, что t=x6t=\sqrt[6]{x} и 6ln⁡t=ln⁡x6\ln t=\ln x. Поэтому∫dxx(1+2x+x3)=ln⁡x−32ln⁡(1+x6)−94ln⁡(2x3−x6+1)−327arctg⁡4x6−17+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}
{x(1+2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}
&=\ln x-\dfrac{3}{2}\ln(1+\sqrt[6]{x})-\dfrac{9}{4}
\ln\left(2\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}+1\right)-\dfrac{3}{2\sqrt7}
\arctg\dfrac{4\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt7}+C
\end{aligned}
Демидович № 1927 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика