Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1934

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

Задача 1934

∫dx(x−a)n+1(x−b)n−1n\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}} (nn --- натуральное число).
Ответ:При a≠ba\ne bnb−ax−bx−an+C\dfrac{n}{b-a}\sqrt[n]{\dfrac{x-b}{x-a}}+CПри a=ba=b−1x−a+C,x≠a-\dfrac{1}{x-a}+C,
\qquad x\ne aДля a≠ba\ne b: при чётном nn требуется (x−a)(x−b)>0(x-a)(x-b)>0; при нечётном n⩾3n\geqslant3 требуется x≠ax\ne a, x≠bx\ne b; при n=1n=1 требуется x≠ax\ne a. На разных промежутках области определения постоянные могут быть различными.

Решение

Сначала разберём основной случай a≠ba\ne b, n⩾2n\geqslant2, в котором нужна рационализирующая подстановка. После этого отдельно проверим два упрощённых случая: n=1n=1 и a=ba=b.

Пусть a≠ba\ne b и n⩾2n\geqslant2. На каждом промежутке, где радикал определён и знаменатель не равен нулю, положимt=x−ax−bn,tn=x−ax−bt=\sqrt[n]{\dfrac{x-a}{x-b}},
\qquad
t^n=\dfrac{x-a}{x-b}Отсюдаx=btn−atn−1,x−a=(b−a)tntn−1,x−b=b−atn−1,dx=n(a−b)tn−1(tn−1)2 dt\begin{aligned}
x&=\dfrac{bt^n-a}{t^n-1},
&x-a&=\dfrac{(b-a)t^n}{t^n-1},\\
x-b&=\dfrac{b-a}{t^n-1},
&dx&=\dfrac{n(a-b)t^{n-1}}{(t^n-1)^2}\,dt
\end{aligned}При извлечении корня учитываем, что(b−a)2nn=(a−b)2,(tn−1)2nn=(tn−1)2,tn(n+1)n=tn+1\begin{gathered}
\sqrt[n]{(b-a)^{2n}}=(a-b)^2,
\qquad
\sqrt[n]{(t^n-1)^{2n}}=(t^n-1)^2,\\
\sqrt[n]{t^{n(n+1)}}=t^{n+1}
\end{gathered}Последнее равенство верно, поскольку при чётном nn выбирается t⩾0t\geqslant0, а при нечётном nn показатель n+1n+1 чётен. Следовательно,(x−a)n+1(x−b)n−1n=(b−a)2ntn(n+1)(tn−1)2nn=(a−b)2tn+1(tn−1)2\begin{aligned}
\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}
&=\sqrt[n]{
\dfrac{(b-a)^{2n}t^{n(n+1)}}{(t^n-1)^{2n}}
}=\dfrac{(a-b)^2t^{n+1}}{(t^n-1)^2}
\end{aligned}Поэтому∫dx(x−a)n+1(x−b)n−1n=na−b∫dtt2==nb−a1t+C=nb−ax−bx−an+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}
{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}}
&=\dfrac{n}{a-b}\int\dfrac{dt}{t^2}=\\
&=\dfrac{n}{b-a}\dfrac{1}{t}+C
=\dfrac{n}{b-a}\sqrt[n]{\dfrac{x-b}{x-a}}+C
\end{aligned}Если n=1n=1, исходный интеграл равен∫dx(x−a)2=−1x−a+C\int\dfrac{dx}{(x-a)^2}=-\dfrac{1}{x-a}+CПри a≠ba\ne b общая формула также даёт эту первообразную с точностью до постоянного слагаемого. Если a=ba=b, при любом nn под корнем находится (x−a)2n(x-a)^{2n}, поэтому снова получаем −1x−a+C-\dfrac{1}{x-a}+C.

Для чётного nn и a≠ba\ne b область определения задаётся условием (x−a)(x−b)>0(x-a)(x-b)>0. Для нечётного n⩾3n\geqslant3 следует исключить точки x=ax=a и x=bx=b. При n=1n=1 исключается только x=ax=a.
Демидович № 1934 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика